[线代]矩阵的秩与其伴随矩阵的秩之间的关系

注意：以下讨论的矩阵 $A$ 与 $A^{*}$ 都是方阵。

$n$ 阶矩阵 $A$ 的秩与其伴随矩阵 $A^{*}$ 的秩之间的关系如下：

①

如果 $A$ 满秩，即 $r(A)=n$, 则 $A^{*}$ 也满秩，即 $r(A^{*})=n$;

②

如果 $r(A)=n-1$, 则 $r(A^{*})=1$;

③

如果 $r(A) < n-1$, 则 $r(A^{*})=0$.

也就是说，随着原矩阵秩的减小，其伴随矩阵的秩会出现“断崖式”的快速下降。

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