由方程式确定的隐函数求导公式的“实例递进式”推导

一、前言

对于一个二元隐函数（或者说二元方程式） $F(x, y) = 0$, $y = y(x)$ 而言，对 $x$ 求导（全导数）的公式的一般推导过程如下：

$$
\begin{aligned}
& F \left( x, y \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} F \left( x, y \right)}{\mathrm{d} x} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{orange}{ F^{\prime}_{x} \left( x, y \right) + F^{\prime}_{y} \left( x, y \right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{- F^{\prime}_{x} \left( x, y \right)}{F^{\prime}_{y} \left( x, y \right)}
\end{aligned}
$$

其中，$F^{\prime}_{y} \left( x, y \right) \neq 0$.

当然，我们也可以简写成下面的形式：

$$
\begin{aligned}
& F \left( x, y \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} x} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{orange}{ F^{\prime}_{x} + F^{\prime}_{y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{- F^{\prime}_{x} }{F^{\prime}_{y} }
\end{aligned}
$$

其中，$F^{\prime}_{y} \neq 0$.

此外，还可以写成下面的形式：

$$
\begin{aligned}
& F \left( x, y \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} x} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{orange}{ \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{- \partial F / \partial x }{ \partial F / \partial x }
\end{aligned}
$$

其中，$\frac{\partial F}{\partial x} \neq 0$.

可以看到，要理解上面的公式，最主要的就是要理解 $\frac{\partial F}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $0$ 这个式子是怎么来的.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一些实例，以递进式的方式，为同学们讲清楚上面这个式子的由来.

二、正文

已知，下面这个函数：

$$
F(x) = x + x^{2} \tag{1}
$$

此时，在 $F(x)$ 中对 $x$ 求全导数，得：

$$
\frac{\mathrm{d} F(x)}{\mathrm{d} x} = 1 + 2x \tag{2}
$$

关于全导数和偏导数的区别，可以查阅这篇讲义：《全导数、偏导数和全微分的区别与联系》

如果我们把 $(1)$ 式中的 $x^{2}$ 看作是一个单独的自变量，则可以写成：

$$
F(x, x^{2}) = x + x^{2} \tag{3}
$$

此时，在函数 $F(x, x^{2})$ 中对 $x$ 求全导数，得：

$$
\frac{\mathrm{d} F (x, x^{2})}{\mathrm{d} x} = 1 + 2x \tag{4}
$$

可以看到，$(4)$ 式和 $(2)$ 式的求导结果实际上是一样.

再进一步，如果我们令 $y(x) = x^{2}$, 则上面的 $(3)$ 式可以写成：

$$
F(x, y) = x + y
$$

此时，在 $F(x, y)$ 中对 $x$ 求全导数，得：

$$
\frac{\mathrm{d} F (x, y)}{\mathrm{d} x} = 1 + y ^{\prime}_{x} (x)
$$

又因为 $y(x) = x^{2}$, 所以：

$$
y ^{\prime}_{x} (x) = 2x
$$

于是：

$$
\frac{\mathrm{d} F (x, y)}{\mathrm{d} x} = 1 + 2x \tag{5}
$$

可以看到，$(5)$ 式和 $(4)$ 式的求导结果实际上是一样.

至此，我们能得到的计算公式是这样的：

$$
\frac{\mathrm{d} F (x, y)}{\mathrm{d} x} = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \tag{6}
$$

可以看到，上面的 $(6)$ 式，和前面的 $\frac{\partial F}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $0$ 这个式子并不完全一样，这是什么原因呢？

本质原因是，$y(x)$ 可能是一个复合函数.

例如，如果函数 $G(x, y)$ 的表达式如下：

$$
G(x, y) = x + y^{2}
$$

其中，$y$ $=$ $y(x)$ $=$ $x^{2}$, 则根据复合函数的求导法则，要在 $y^{2}$ 中对 $x$ 求导，就需要先对 $y$ 本身求导，再对 $x$ 求导，即：

$$
\frac{\partial G}{\partial y} \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 2 y \cdot 2x
$$

事实上，即便是对于函数 $F(x, y)$ $=$ $x + y$, 我们在对 $y$ 中的 $x$ 求导的时候，也需要先对 $y$ 本身求导，只不过，对 $y$ 本身求导所得的结果是 $1$:

$$
\frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 1 \cdot 2x
$$

综上，通过上面的推导过程，我们就可以知道，对函数 $F(x,y)$, 其中 $y$ $=$ $y(x)$ 求全导数的公式为：

$$
\textcolor{orange}{ \frac{\mathrm{d} F (x, y)}{\mathrm{d} x} = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} }
$$

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