一元 n 次方程的韦达定理（包括证明过程和示例）

一、前言

韦达定理描述了多项式方程的根与方程系数之间的关系. 由于该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达首次发现，因此得名.

一元 n 次方程的韦达定理（包括证明过程和示例）- 荒原之梦考研数学 — 韦达（1540-1603）的肖像画，来自 wikimedia.org, 公有领域授权.

二、正文

§2.1 韦达定理

设 $P(x)$ $=$ $a_{n} x^{n}$ $+$ $a_{n-1} x^{n-1}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{1} x$ $+$ $a_{0}$ 是一个一元 $n$ 次实系数（或复系数）多项式，首项系数 $a_{n} \neq 0$，可令 $P(x)$ 的 $n$ 个根分别为 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$，则根 ${x_i}$ 和系数 ${a_j}$ 之间满足如下关系式：

$$
\begin{cases}
x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1} + x_{n} = -\frac{a_{n-1}}{a_{n}} \\
(x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + \cdots + x_{1} x_{n}) + (x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + \cdots + x_{2} x_{n}) + \cdots + x_{n-1} x_{n} = \frac{a_{n-2}}{a_{n}} \\
\vdots \\
x_{1} x_{2} \cdots x_{n} = (-1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}}
\end{cases}
$$

也就是说，对任何的 $k$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$，系数比 $\frac{a_{n-k}}{a_{n}}$ 是所有任取 $k$ 个根的乘积的和的 $(-1)^{k}$ 倍.

如果我们用 $i_{1} < i_{2} < \cdots < i_k$ 表示让所有 $n$ 个根的组合都恰好出现一次，则韦达定理可以表示为：

$$
\sum_{1 \leqslant i_{1} < i_{2} < \cdots < i_k \leqslant n} x_{i_{1}} x_{i_{2}} \cdots x_{i_k} = (-1)^{k} \cdot \frac{a_{n-k}}{a_{n}}
$$

或者：

$$
\sum_{1 \leqslant i_{1} < i_{2} < \cdots < i_k \leqslant n} \left(\prod_{j=1}^{k} x_{i_j}\right) = (-1)^{k} \cdot \frac{a_{n-k}}{a_{n}}
$$

§2.2 韦达定理的证明

因为 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ 是一元 $n$ 次多项式 $P(x)$ $=$ $a_{n} x^{n}$ $+$ $a_{n-1} x^{n-1}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{1} x$ $+$ $a_{0}$ 的 $n$ 个根，于是，根据《多项式的因式分解定理》可知：

$$
a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_{1} x + a_{0} = a_{n} (x – x_{1})(x – x_{2}) \cdots (x – x_{n})
$$

接着，根据乘法运算的原理展开 $a_{n} (x – x_{1})(x – x_{2}) \cdots (x – x_{n})$ 这个式子，可知，在进行乘法运算的时候，在 $(x – x_{1})$, $(x – x_{2})$, $\cdots$, $(x – x_{n})$ 这些项中，我们要么取 $(x – x_{i})$ 中的 $x$ 参与乘法运算（此时会导致所得式子中 $x$ 的次幂增加），要么取 $(x – x_{i})$ 中的 $-x_{i}$ 参与乘法运算（此时不会改变所得式子中 $x$ 的次幂，但是会改变式子整体的正负性）.

因此：

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 要在展开的时候产生 $x^{n}$ 项，就需要从 $n$ 个因式 $(x – x_{i})$ 中的每一个都取出一个 $x$ 进行乘法运算，此时 $x_{n}$ 项的系数就是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
a_{n} \cdot 1 \cdots 1 = a_{n}
}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 要在展开的时候产生 $x^{n-1}$ 项，就需要从 $n-1$ 个因式 $(x – x_{i})$ 中的每一个都取出一个 $x$（共计 $n-1$ 个）, 以及共计一个 $-x_{i}$ 进行乘法运算，由于 $i$ 的取值为 $1$, $2$, $3$, $\cdots$, $n$ 共 $n$ 种，所以，此时 $x_{n-1}$ 项的系数就是：

$$
\begin{aligned}
a_{n-1} x^{n-1} & = a_{n} \cdot \left[ (-x_{1}) \cdot x^{n-1} + (-x_{2}) \cdot x^{n-1} + \cdots + (-x_{n}) \cdot x^{n-1} \right] \\
& \leadsto a_{n-1} = a_{n} (-x_{1} – x_{2} – \cdots – x_{n-1} – x_{n}) \\
& \leadsto a_{n-1} = – a_{n} (x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1} + x_{n}) \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto a_{n-1} = (-1)^{1} \cdot a_{n} (x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1} + x_{n}) }
\end{aligned}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 要在展开的时候产生 $x^{n-2}$ 项，就需要从 $n-2$ 个因式 $(x – x_{i})$ 中的每一个都取出一个 $x$（共计 $n-2$ 个）, 以及共计两个 $-x_{i}$ 进行乘法运算，由于 $i$ 的取值为 $1$, $2$, $3$, $\cdots$, $n$ 共 $n$ 种，所以，这其实就是一个在 $n$ 个因式中进行两两一对的选择，选择出 $-x_{i}$ 和 $-x_{\hat{i}}$ 进行相乘的问题，这样的组合一共有 $\mathrm{C}_{n}^{2}$ 种，此时 $x_{n-2}$ 项的系数就是：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{ a_{n-2} } & = a_{n} \left[ (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + \cdots + x_{1} x_{n}) + (x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + \cdots + x_{2} x_{n}) + \cdots + x_{n-1} x_{n} \right] \\
& = \textcolor{lightgreen}{ (-1)^{2} \cdot a_{n} \left[ (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + \cdots + x_{1} x_{n}) + (x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + \cdots + x_{2} x_{n}) + \cdots + x_{n-1} x_{n} \right] }
\end{aligned}
$$

以此类推，对于 $x^{n-3}$ 项的系数，就可由从全部 $n$ 个因式 $(x – x_{i})$ 中每三个 $-x_{i}$ 为一组（共有 $\mathrm{C}_{n}^{3}$ 组）相乘后求和得到.

于是，对于 $x^{0}$ 项的系数 $a_{0}$, 就是从全部 $n$ 个因式 $(x – x_{i})$ 中选出 $n$ 个 $-x_{i}$, 对应的组合方式只有一种，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
a_{0} = (-1)^{n} \cdot a_{n} x_{1} x_{2} \cdots x_{n}
}
$$

通过上面的因式分解和乘法展开，我们事实上就得到了韦达定理.