多项式的因式分解定理

一、前言

所谓多项式的因式分解，一般指的就是把一个多项式分解为两个或多个因式，从而将一个复杂的多项式，变成一些较原式更简单的多项式的乘积.

二、正文

简单的多项式因式分解很常见，例如，下面的两个等式都是在做多项式因式分解（等号左侧的是多项式，等号右侧的是因式的乘积）：

$$
x^{2} – 1^{2} = \left( x + 1 \right) \cdot \left( x – 1 \right)
$$

$$
x^{2} – y^{2} = \left( x + y \right) \cdot \left( x – y \right)
$$

但是，对于像下面这样比较复杂的多项式，我们应该怎么做因式分解呢：

$$
P \left( x \right) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_{1} x + a_{0} \tag{1}
$$

对于上面的 $(1)$ 式这样比较复杂的一元 $n$ 次多项式，如果已知其 $n$ 个根（包括重根），即：

$$
x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}
$$

则，我们可以通过下面的推导过程，求解出上面的 $(1)$ 式对应的因式分解表达式：

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 首先，根据因式定理可知，如果 $x_{1}$ 是多项式 $P(x)$ 的根，即 $P \left( x_{1} \right)$ $=$ $0$，则 $\left( x – x_{1} \right)$ 是该多项式的因子；

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 于是，如果 $Q_{1} \left( x \right)$ 是某个合适的 $n-1$ 次多项式，则 $P \left( x \right)$ 这个多项式可以表示为：$P \left( x \right)$ $=$ $\left( x – x_{1} \right) \cdot Q_{1} \left( x \right)$;

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 接着，如果 如果 $Q_{2} \left( x \right)$ 是某个合适的 $n-2$ 次多项式，则 $Q_{1} \left( x \right)$ 这个多项式可以表示为：$Q_{1} \left( x \right)$ $=$ $\left( x – x_{2} \right) \cdot Q_{2} \left( x \right)$, 从而可知，$P(x)$ 这个多项式可以表示为：$P \left( x \right)$ $=$ $\left( x – x_{1} \right) \cdot \left( x – x_{2} \right) \cdot Q_{2} \left( x \right)$;

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 此后，重复上面的过程，就可以将全部 $n$ 个根都提取出来，得到如下这样的式子：

$$
\left( x – x_{1} \right) \cdot \left( x – x_{2} \right) \cdots \left( x – x_{n} \right) \tag{2}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 但是，将上面的 $(2)$ 式展开之后，实际上得到的次幂最高的项 $x^{n}$ 是由 $n$ 个 $x$ 相乘得到的，此时 $x^{n}$ 的系数为 $1$, 所以需要乘以一个 $a_{n}$ 进行配平，从而使得下式成立：

$$
\begin{align}
P \left( x \right) & = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_{1} x + a_{0} \notag \\ \notag
& = a_{n} \cdot \left( x – x_{1} \right) \cdot \left( x – x_{2} \right) \cdots \left( x – x_{n} \right) \tag{3}
\end{align}
$$

将上面的 $(3)$ 式展开，次幂最高项 $x_{n}$ 的系数为 $a_{n}$, 次幂次高项 $x^{n-1}$ 以及次幂更小的其他项的系数则通过 $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $\cdots$, $x_{n}$ 进行表示.

例如，对于一元二次多项式 $ax^{2} + bx + c$，其根为 $x_{1}$, $x_{2}$, 于是，可以用因式表示为：

$$
ax^{2} + bx + c = a \left( x – x_{1} \right) \left( x – x_{2} \right)
$$

进一步展开等号右侧的式子，可得：

$$
\begin{align}
ax^{2} + bx + c & = a \left[ x^{2} – \left( x_{1} + x_{2} \right) x + x_{1} x_{2} \right] \notag \\ \notag
& = ax^{2} – a \left( a_{1} + x_{2} \right) x + a x_{1} x_{2} \tag{4}
\end{align}
$$

对比上面 $(4)$ 中的系数，实际可得与韦达定理相同的结论如下：

$$
\begin{aligned}
a \left( a_{1} + x_{2} \right) = b & \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a} \\ \\
a x_{1} x_{2} & \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}
\end{aligned}
$$

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