峰图 | 齐次函数本质机制的两种解释

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《齐次函数详解与示例》这篇文章中，我们以定义和示例的方式理解了什么是齐次函数，在本文中，我们将通过四则运算的运算律和峰式图两种方式，来深入理解齐次函数的本质机制.

二、正文

§2.1 基于运算律理解齐次函数的本质

在验证一个函数是否是齐次函数的时候，我们首先要用到乘法的交换律和结合律：

乘法交换律：$a \times b$ $=$ $b \times a$

乘法结合律：$\left( a \times b \right) \times c$ $=$ $a \times \left( b \times c \right)$

例如，下面的计算过程，就用到了乘法的交换律和结合律：

$$
\left( t \cdot x \right) \times \left( t \cdot y \right) = t^{2} \cdot xy
$$

对于含有加减法的齐次函数，在验证的时候，我们还需要用到乘法的分配律：

乘法分配律：$a \times \left( b + c \right)$ $=$ $a \times b + a \times c$

例如，下面的计算过程，就用到了乘法的分配律：

$$
t^{2} x^{2} + 3 t^{2} xy + t^{2} y^{2} = t^{2} \left( x^{2} + 3xy + y^{2} \right)
$$

由于，只有乘法运算才会满足乘法的交换律、结合律和分配律，三角函数运算、对数运算等并不满足乘法的这些运算律. 但是，要构造一个齐次函数，就必须借助乘法的交换律、结合律和分配律. 所以，在一般情况下，一个包含三角函数运算，或者对数函数运算的函数往往不是一个齐次函数，除非我们使三角函数或者对数函数这类函数中自变量的缩放“不起作用”，也就是构造出自变量的比值，例如：

$$
\mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \quad \mathrm{e}^{\frac{x}{y}} \quad \ln \left( \frac{y}{x} \right) \quad \ln \left( \frac{x}{y} \right) \quad \sin \left( \frac{x}{y} \right) \quad \cos \left( \frac{y}{x} \right) \quad \dots
$$

§2.2 基于峰式图理解齐次函数的本质

齐次函数本质上就是一种具备缩放属性的函数，所以，我们首先要明白什么是“缩放”——

例如，就是将一个宽 $20$ 像素，高 $30$ 像素的图片放大（缩放） $2$ 倍，就会变成一个宽 $40$ 像素，高 $60$ 像素的图片——在这个过程中，图片的宽度增加了 $20$ 像素，图片的高度增加了 $30$ 像素.

也就是说，在进行放大的时候，原本较大的量会比原本较小的量放大的比例大，或者说，原本较小的量也会比原本较大的量放大的比例小；类似地，在进行缩小的时候，原本较大的量会比原本较小的量缩小的比例大，或者说，原本较小的量也会比原本较大的量缩小的比例小.

因此，函数的缩放事实上是关于缩放点对称的一个变化过程，我们可以将缩放看作是一种对称作用力下函数的弹性弯折. 同时，对于能够进行缩放的函数，这个弹性弯折的过程具有以下特点：

1. 缩放时对称点不会产生平移；
2. 缩放的作用力方向是相对或者相反的，不会相同；
3. 缩放一定可以得到至少一个对称轴（对称轴可以是多个，但不能是无限多个），因为缩放是各向均匀的.

下面，「荒原之梦考研数学」就通过几个具体的例子阐述这一判断一个函数是否是满足缩放性质的齐次函数的方法：

对于幂函数而言，由 $y=x^{2}$ 到 $y=\left( kx \right)^{2}$ 的变化过程如图 01 所示：

同样对于幂函数而言，由 $y=x^{-1}$ 到 $y=\left( kx \right)^{-1}$ 的变化过程如图 02 所示：

对于对数函数而言，由 $y = \ln x$ 到 $y = \ln \left( kx \right)$ 的变化过程如图 03 所示：

对于三角函数而言，由 $y = \sin x$ 到 $y = \sin \left( kx \right)$ 的变化过程如图 04 所示：

对于指数函数而言，由 $y = a^{x}$ 到 $y = a^{kx}$ 的变化过程如图 05 所示：

观察上面的函数变化过程可知，对于幂函数 $y = x^{2}$ 和 $y=x^{kx}$ 而言，其缩放过程相当于施加关于坐标系 $Y$ 轴对称的方向相对或者方向相反的力，所以，这一变化过程就是缩放，由其组成的函数就是齐次函数：

对于幂函数 $y = x^{-1}$ 和 $y = \left( kx \right)^{-1}$ 而言，其缩放过程相当于施加关于 $y = x$ 对称的方向相对或者方向相反的力，所以，这一变化过程也是缩放，由其组成的函数就是齐次函数：

但是，对于对数函数 $\ln x$ 而言，由于 $\ln \left( tx \right)$ $=$ $\ln x + \ln t$, 所以，$\ln \left( tx \right)$ 相当于是对 $\ln x$ 的平移，而不是缩放.

从图上我们也可以看出来，由函数 $y = \ln x$ 到 $y = \ln \left( kx \right)$ 的变化过程，实际上只受到了指向一个方向的非对称的力，所以，这一变化过程不是缩放，由其组成的函数一般也不是齐次函数：

对于三角函数而言，由 $y = \sin x$ 到 $y = \sin \left( kx \right)$ 的变化过程产生了多个对称受力点（图 12 和图 13 中只绘制了 $2$ 个），这就导致三角函数由 $y = \sin x$ 到 $y = \sin \left( kx \right)$ 的变化过程只是沿坐标系 $X$ 轴方向上的拉伸，而不是缩放，由其组成的函数一般也不是齐次函数：

对于指数函数而言，由 $y = a^{x}$ 到 $y = a^{kx}$ 的变化过程可以认为是受力的方向和大小都不对称的不规则的拉伸，因此，这一变化过程不是缩放，由其组成的函数一般也不是齐次函数：

综上可知，一般来说，只有幂函数才更可能确保所构成的函数是一个齐次函数.

此外，由于次幂本身就是乘法运算的另一种表示形式，所以乘法运算和除法运算都可以看作是一种齐次运算，即函数中的乘除法不会对一个函数是否是齐次函数产生影响. 当然，由于函数中不同的“项”是以加减法为标志进行区分的，所以，在一个齐次函数中，用加减法连接的每一项都必须是齐次的.

三、总结

在本文中，「荒原之梦考研数学」通过运算律和峰式图两种方式尝试解释了一个函数是齐次函数的本质机制，可以帮助同学们对齐次函数建立更加形象和深入的理解.

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