齐次函数详解与示例

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对齐次函数做一个深入的讲解，同时还会提供一些齐次函数的具体例子，以帮助同学们更加深入地理解这一概念.

二、正文

什么是齐次函数？

齐次函数的定义为：

设函数 $f(x_{1}, \dots, x_{n})$ 在某个区域内有定义，若存在实数 $k$, 使得对所有允许的缩放因子 $t$（通常取 $t>0$, 有时也可仅限制 $t \neq 0$）, 都有：

$$
f(t x_{1}, \dots, t x_{n}) = t^{k} f(x_{1}, \dots, x_{n})
$$

则称 $f$ 是 $k$ 次齐次函数（或“齐次次数/阶”为 $k$ 的函数）.

其中：

• $k$ 可以是整数，也可以是分数，或者是负数；
• 当函数中含有 $\sqrt{\square}$、$\ln$ 等时，必须限制 $t > 0$, 因为负缩放可能不在定义域内；
• 一定要有 $t \neq 0$, 因为当 $t = 0$ 时，函数的自变量对函数就没有影响了，此时讨论一个函数是否是齐次函数也就没有意义了，因为齐次函数本质上是对函数自变量次幂特征的一种描述.

综合上面的定义，简单来说，所谓的齐次函数，本质上就是一类，若函数的所有自变量同时按同一个比例缩放，函数值也会按某个固定幂次缩放的函数.

齐次函数示例 1：多项式型的齐次函数

已知函数：

$$
f(x,y) = x^{2} + xy + y^{2}
$$

由于该函数每一项次幂之和都是 $2$, 所以该函数是一个 $2$ 次齐次函数，同时，验证可知：

$$
\begin{aligned}
f(tx,ty) \\ \\
& = (tx)^{2} + tx \cdot ty + (ty)^{2} \\ \\
& = t^{2} \cdot x^{2} + t^{2} \cdot x y + t^{2} \cdot y^{2} \\ \\
& = t^{2} \cdot (x^{2} + xy + y^{2}) \\ \\
& = t^{ \textcolor{lightgreen}{2} } \cdot f(x,y)
\end{aligned}
$$

当然，多项式型的齐次函数也可能只有一个项，例如 $f(x, y, z)$ $=$ $x^{5} y^{2} z^{3}$ 就是 $10$ 次齐次函数，因为：

$$
(\alpha x)^{5} (\alpha y)^{2} (\alpha z)^{3} = \alpha^{\textcolor{lightgreen}{10}} x^{5} y^{2} z^{3}
$$

齐次函数示例 2：分式型的齐次函数

已知函数：

$$
f(x, y) = \frac{x^{2}}{x + y}, \quad (x + y) \neq 0
$$

由于该函数分母中用加减法连接的每一项的次幂之和都是 $1$, 分子中用加减法连接的每一项的次幂之和都是 $2$, 所以，整体的齐次次数就是 $2-1$ $=$ $1$.

验证可知：

$$
\begin{aligned}
f(tx, ty) \\ \\
& =\frac{t^{2} \cdot x^{2}}{t \cdot (x+y)} \\ \\
& = t \cdot \frac{x^{2}}{x+y} \\ \\
& = t^{\textcolor{lightgreen}{1}} \cdot f(x,y)
\end{aligned}
$$

齐次函数示例 3：比值型的齐次函数

对于函数：

$$
f(x, y) = x^{\textcolor{lightgreen}{k}} \cdot \phi \left( \frac{y}{x} \right), \quad (x \neq 0)
$$

或者：

$$
f(x, y) = x^{\textcolor{lightgreen}{k}} \cdot \phi \left( \frac{x}{y} \right), \quad (x \neq 0)
$$

或者：

$$
f(x, y) = y^{\textcolor{lightgreen}{k}} \cdot \phi \left( \frac{y}{x} \right), \quad (x \neq 0)
$$

或者：

$$
f(x, y) = y^{\textcolor{lightgreen}{k}} \cdot \phi \left( \frac{x}{y} \right), \quad (x \neq 0)
$$

那么 $f$ 一定是 $k$ 次齐次函数，因为 $\phi \left( \frac{ty}{tx} \right)$ $=$ $\phi \left( \frac{y}{x} \right)$, $\phi \left( \frac{tx}{ty} \right)$ $=$ $\phi \left( \frac{x}{y} \right)$, 因此，函数 $f$ 的齐次次数只取决于 $x^{\textcolor{lightgreen}{k}}$ 或者 $y^{\textcolor{lightgreen}{k}}$ 中的次幂 $\textcolor{lightgreen}{k}$.

例如，对于函数 $f(x,y)$ $=$ $x^{\textcolor{lightgreen}{3}} \cdot \left[ 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^{2}\right]$, 我们有：

$$
\begin{aligned}
f(x,y) \\ \\
& = x^{3} \cdot \left[ 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^{2}\right] \\ \\
& = x^{3} + y^{2} x
\end{aligned}
$$

从上面的式子可以看出，用加减法连接的各个项的次幂之和确实是 $3$, 所以，这是一个 $3$ 次齐次函数.

齐次函数示例 4：复合型的齐次函数

已知函数：

$$
f(x,y,z) = \frac{x^{2} y \sqrt{z}}{x+y+z},
\quad (x + y + z \neq 0,\ z \geqslant 0)
$$

在该函数中，分母中由加减法连接的各项的次幂之和都是 $1$, 分子中项的次幂之和是 $2+1+\dfrac{1}{2}$, 于是，整个函数（即整个分式）的就是 $2+1+\dfrac{1}{2} – 1$ $=$ $\dfrac{5}{2}$ 次齐次函数.

假设 $t > 0$, 则验证如下：

$$
f(tx,ty,tz) = \frac{t^{\frac{7}{2}}x^{2}y\sqrt{z}}{t(x+y+z)} = t^{\frac{5}{2}} \frac{x^{2} y \sqrt{z}}{x+y+z} = t^{\textcolor{lightgreen}{\frac{5}{2}}}f(x,y,z)
$$

非齐次函数示例 1

已知函数：

$$
f(x,y) = x + y + 1
$$

由于该函数相当于：

$$
f(x,y) = x^{1} + y^{1} + 1 \cdot x^{0}
$$

或者：

$$
f(x,y) = x^{1} + y^{1} + 1 \cdot y^{0}
$$

所以，该函数中由加减法连接的各项的次幂数不相等，因此不是一个齐次函数.

非齐次函数示例 2

已知函数：

$$
f(x, y) = x^{2} y + \sin x + y^{3} + \mathrm{e}^{xy}
$$

由于：

$$
\begin{aligned}
f(tx, ty) \\ \\
& = (tx)^{2}(ty) + \sin(tx)+(ty)^{3} + \mathrm{e}^{(tx)(ty)} \\ \\
& = t^{3}x^{2} y + \sin(tx) + t^{3} y^{3} + \mathrm{e}^{t^{2} xy} \\ \\
& = t^{3} \cdot \left( x^{2} y + y^{3} \right) + \sin(tx) + \mathrm{e}^{t^{2} xy} \\ \\
& \textcolor{orangered}{ \neq t^{k} f(tx, ty) }
\end{aligned}
$$

所以，该函数不是一个齐次函数——因为一般情况下，$\sin(tx)$ 和 $\mathrm{e}^{t^{2} xy}$ 不是一个具备“次幂缩放”性质的的函数，也就是说，一般情况下，我们无法找到实数 $k_{1}$ 和 $k_{2}$, 使得下面的式子成立：

$$
\begin{aligned}
& \sin(tx) = t^{k_{1}} \cdot \sin x \\ \\
& \mathrm{e}^{t^{2} xy} = t^{k_{2}} \cdot \mathrm{e}^{xy}
\end{aligned}
$$

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