初等变换是否会改变矩阵的幂零属性？

一、前言

如果一个矩阵是幂零矩阵，那么，无论经过怎么样的初等变换，这个矩阵都是幂零矩阵吗？

反过来说，如果一个矩阵不是幂零矩阵，那么，无论经过怎么样的初等变换，这个矩阵都不是幂零矩阵吗？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们深入解析这一问题.

二、正文

首先，根据矩阵的运算性质可知，矩阵运算中的乘法运算（包括矩阵的幂运算）和求逆运算，都可以拆解为一系列的矩阵初等变换，也就是说，矩阵的初等变换，本质上就是矩阵的乘法运算和求逆运算.

接着，根据「荒原之梦考研数学」的《矩阵运算与特征值运算的映射关系》这篇文章可知，矩阵所有类型的运算都具有改变矩阵的秩的能力.

同时，根据「荒原之梦考研数学」的《峰图 | 基于“动线交点”理论理解幂零矩阵的“塌缩”机制》这篇文章可知，幂零矩阵的秩一定全为 $0$——

于是可知，矩阵的初等变换可能会导致矩阵的幂零属性发生改变，因为矩阵的初等变换具有改变矩阵的秩的能力.

事实上，根据「荒原之梦考研数学」的《峰图 | 图解等价/相似矩阵的链式等秩公式》这篇文章，和《相似矩阵的性质汇总》这篇文章可知，只有相似矩阵之间的秩才是相等的，所以，只有通过下面的相似变换过程，才能保证一个幂零矩阵 $\boldsymbol{A}$ 在经过相似变换过程之后得到的矩阵 $\boldsymbol{B}$ 仍然是幂零矩阵，或者一个非幂零矩阵 $\boldsymbol{A}$ 在经过相似变换过程之后得到的矩阵 $\boldsymbol{B}$ 仍然是非幂零矩阵：

$$
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{B}
$$

其中，$\boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵.

---