非线性微分方程会存在通解吗？

一、前言

对于考研数学经常考察的微分方程而言，无论是齐次还是非齐次的线性微分方程都存在通解，那么，非线性的微分方程存在通解吗？

在本文中，我们就来回答一下这个问题，让同学们对非线性微分方程的性质有一个更加深入的理解.

由于在通解的存在性这一问题上，常微分方程和偏微分方程具有同样的性质. 所以，本文中对非线性微分方程的讨论，主要以非线性常微分方程为例.

二、正文

对于线性微分方程而言，我们通常可以找到一个包含任意常数 $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$, $\cdots$ 的解的表达式，这个表达式可以涵盖这个线性微分方程的所有可能的解，因此，也被称为线性微分方程的通解.

如果一个非线性微分方程存在解析解，在该非线性微分方程中，我们也称一个包含任意常数 $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$, $\cdots$ 的解的表达式为该非线性微分方程的“通解”，但是，这个“通解”很有可能并不能完全涵盖该非线性微分方程所有可能的解. 因为，对于存在此类“通解”的非线性微分方程，往往还会存在由包裹“通解”的包络线形成的“奇解”.

例如，对于下面的克莱罗方程：

$$
y = xy ^{\prime} + (y ^{\prime} )^{2}
$$

我们可以求出它的通解为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
y = Cx + C^{2} } \tag{1}
$$

其中，$C$ 为任意常数.

但是，克莱罗方程还有一个解，也就是奇解，其表达式为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
y = \frac{-x^{2}}{4} } \tag{2}
$$

如果我们将上面的 $(2)$ 式对应的函数图象绘制在 $X-O-Y$ 坐标系中，就会得到如图 01 所示的图象：

如果我们将上面的 $(1)$ 式对应的函数中的一些函数也绘制在 $X-O-Y$ 坐标系中，就会得到如图 02 所示的图象：

从上面的图 02 中可以很明显地看出来，克莱罗方程 $y$ $=$ $xy ^{\prime} + (y ^{\prime} )^{2}$ 的奇解 $y$ $=$ $\frac{-x^{2}}{4}$ 实际上就是其通解 $y$ $=$ $Cx + C^{2}$ 的一条包络线.

同时，由于克莱罗方程 $y$ $=$ $xy ^{\prime} + (y ^{\prime} )^{2}$ 的奇解 $y$ $=$ $\frac{-x^{2}}{4}$ 对应的是一条曲线，所以，显然可知，无论通解 $y$ $=$ $Cx + C^{2}$ 中的常数 $C$ 取什么值，都不可能涵盖奇解——所以，对于存在通解和奇解的非线性微分方程而言，奇解并不是通解的一部分.

三、补充

需要注意的是，绝大多数非线性微分方程都是无法求出解析式形式的通解（即写不出具体的表达公式）的. 一般情况下，在物理和工程实践中有应用价值的，常见的非线性微分方程中，只有少数特殊的非线性方程（如前面的克莱罗方程，以及伯努利方程、里卡蒂方程等）可以通过变量代换转化为线性方程或通过积分技巧求出解析式通解. 对于大多数非线性方程（例如混沌系统中的洛伦兹方程等），我们通常只能通过数值分析方法来逼近其数值解，而无法写出包含任意常数的解析式通解或者奇解.

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