峰图 | 如何理解线性微分方程的“叠加原理”？

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

微分方程所谓的“叠加原理”指的就是，如果 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是某个齐次线性微分方程的解，那么 $k_{1} y_{1}(x) + k_{2} y_{2}(x)$, 或者差 $k_{1} y_{1}(x) – k_{2} y_{2}(x)$ 也是该齐次线性微分方程的解，其中 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 为任意常数——

简单来说，狭义的“叠加原理”指的就是，齐次线性微分方程解的叠加仍然是其解.

当然，严格地说，对于两个解的差而言，符合的应该是“叠减原理”，而不是“叠加原理”，但在本文中，我们都将其称之为“叠加原理”.

此外，对于非齐次的线性微分方程，（广义的）叠加原理仍然有效，即：

1. 如果 $y_{1}$, $y_{2}$ 都是非齐次方程 $L[y]=C$ 的解，则它们的差 $y_{1} – y_{2}$ 一定也是齐次方程 $L[y]=0$ 的解；他们的和 $y_{1} + y_{2}$ 一定也是非齐次方程 $L[y]=2C$ 的解；
2. 如果 $y_{1}$, $y_{2}$ 都是非齐次方程 $L[y]=g(x)$ 的解，则它们的差 $y_{1} – y_{2}$ 一定也是齐次方程 $L[y]=0$ 的解；他们的和 $y_{1} + y_{2}$ 一定也是非齐次方程 $L[y]=2g(x)$ 的解.

二、正文

§2.0 符号约定

• $C$、$c_{1}$、$c_{2}$ 都表示任意常数；
• $g(x)$ 表示关于 $x$ 的函数；
• $L(y)$ 表示关于函数 $y$ 的线性微分方程.

§2.1 叠加原理的“峰式”证明

通过「荒原之梦考研数学」的《如何理解微分方程的线性和非线性概念？》这篇文章可知，微分方程（包括常微分方程和偏微分方程）都存在线性和非线性两种类型，并且，只有线性微分方程满足叠加原理. 而非线性微分方程不仅不满足叠加原理，甚至在三阶及以上阶数的非线性微分方程中，还可能出现混沌现象——即这类方程不存在可以用公式描述的精确解，只能进行数值求解.

那么，为什么只有线性微分方程满足叠加原理呢？

或者说，为什么非线性方程不满足叠加原理呢？

本质上的原因就是，“线性”是基于加（减）法定义的，而加（减）法满足叠加原理——加法事实上就是“叠加”，减法可以认为是反方向的“叠加”.

同样根据《如何理解微分方程的线性和非线性概念？》这篇文章可知，在线性微分方程中，微分方程的基本元素 $y$, $y ^{\prime}$, $y ^{\prime \prime}$, $\cdots$, $y ^{(n)}$ 之间都是通过加减法连接起来的，而在非线性微分方程中，微分方程的基本元素 $y$, $y ^{\prime}$, $y ^{\prime \prime}$, $\cdots$, $y ^{(n)}$ 之间则不仅通过加减法连接，还包含其他运算，如乘法、幂、三角函数等——

因此，所谓“线性微分方程满足叠加原理”，本质上就是说“一个由加减法构成的式子可以通过加减法进行等效的变化”——而这显然是正确的，因为整个式子的构建都是通过加减法实现的，自然就可以通过加减法进行继续的拆分叠加.

接下来，「荒原之梦考研数学」就通过“峰式图”的方式，用形象的图形，给同学们解释一下为什么只有线性微分方程才可能满足解的“叠加原理”.

首先，加（减）法运算的本质就是“叠加”，加（减）法具有叠加形式的确定性，但是乘（除）法，以及其他运算方法，都不具有叠加形式的确定性.

所以，如图 01 所示，我们用绿色图形和橙色图形的紧密但不重叠的拼接表示加法的“叠加”效应：

拼接所得的图形可以表示为如图 02 所示的蓝色图形：

当然，图 01 中用加法连接的两个图形的拼接方式可以是多种多样的，只要符合“紧密但不重叠的拼接”这一要求即可。因此，如图 03 所示的拼接方式与如图 01 所示的拼接方式在结果上是等效的：

类似地，图 03 中拼接所得的图形可以表示为如图 04 所示的蓝色图形——同样的，图 04 中的蓝色图形与图 02 中的蓝色图形也是等效的：

当然，如图 05 和图 06 所示，不同的形状拼接（也就是相加），所得的图形可能存在区别：

在上面，我们定义完成了加（减）法的图形表示，接下来，我们需要对乘（除）法进行图形化的定义.

在传统数学的认知中，我们一般认为乘法运算会改变“维度”，例如，两个一维的线段相乘，就会得到一个二维的平面，两个二维的平面相乘，就会得到一个三维的立体.

从上面的论述可以知道，用图示表示乘法运算，特别是高维度的乘法运算很复杂. 但是，从上面的论述中我们可以得到这样一个有关于乘法运算的关键结论，即乘（除）法运算所得的结果和加（减）法运算所得的结果在本质上是互相“隔离”的——我们无论将多少个二维平面相加，所得的仍然是一个二维平面，而不可能是一个高维的图形.

所以，鉴于前面我们使用直线多边形的拼接表示加（减）法运算的结果，在本文中，我们就用曲边形（如圆形、椭圆形等）来表示乘法运算的结果，因为直线多边形与曲边形之间是相互“隔离”，而不是“相通”的关系（即不可能“化圆为方”，也不可能“化方为圆”），可以体现出加（减）法与乘（除）法之间的本质区别——

于是，如图 07 和图 08 所示，我们用不同直径的圆形表示不同的形状相乘所得的结果：

接着，我们就来看一看，为什么使用叠加原理得到的解不能用在非线性的微分方程中（也就是含有乘（除）法运算和其他非加（减）法运算的图形中）——

首先，假设 和 都是如图 09 所示的非线性微分方程的解：

在本文中，我们假设微分方程中的非线性部分也存在解析解，并且这个解析解和线性部分的解析解完全一致（不一致的情况下也不影响本文的推导和结论的正确性）——当然，大部分微分方程中的非线性部分都不存在解析解，在不存在解析解的情况下，讨论解的“叠加原理”就没有任何意义了.

于是，我们可以用如图 10 或者如图 11 的方式表示 这个解在如图 09 所示的非线性微分方程中的底层作用：

类似地，我们可以用如图 12 或者如图 13 的方式表示 这个解在如图 09 所示的非线性微分方程中的底层作用：

那么， 和 这两个解相加所得的就可以表示（拼接、叠加）为如图 14 或者图 15 所示的形式：

接着，如果我们将 这个解代入到图 09 的非线性微分方程中，就可以得到如图 16 所示的（非线性）微分方程：

可以看到，在图 16 中的绿色部分是可以由图 09 中的两个绿色部分叠加得到的，如图 17 所示：

但是，图 16 中的橙色部分并不能由图 09 中的两个黄色部分叠加得到，从而说明解的“叠加原理”没有生效，如图 18 所示：

事实上，如果我们将图 09 中表示非线性的图形去掉，得到如图 19 所示的线性微分方程：

并且将 和 这两个解都看作图 19 所示的线性微分方程的解，如图 20 和图 21 所示：

那么，将 和 这两个解叠加所得的解 代入到图 19 所示的线性微分方程中，就会得到如图 22 所示的线性微分方程：

同时可知，图 22 中的线性微分方程可以由两个图 19 中的线性微分方程叠加得到的，如图 23 所示：

更进一步，如果我们认为图 19 中的微分方程是一个齐次线性微分方程，也就是右端项为 $0$, 我们就可以将图 19 中图形的面积（或者其他几何性质）看作 $0$, 那么，在图 23 中三个图形的面积关系其实就是：

$$
0 = 0 + 0
$$

这就证明了在齐次线性微分方程中解的“叠加原理”是成立.

当然，我们也可以认为图 19 中的微分方程是一个右端项为任意常数 $C$ 或 $g(x)$ 的非齐次线性微分方程，我们可以将图 19 中图形的面积（或者其他几何性质）看作 $C$ 或 $g(x)$, 那么，在图 23 中三个图形的面积关系其实就是：

$$
2C = C + C
$$

$$
2g(x) = g(x) + g(x)
$$

这就证明了在右端项为常数的非齐次线性微分方程中解的“叠加原理”也是成立的.

当然，如果将图 19 中的微分方程看作是一个右端项为常数或者某个关于 $x$ 的函数 $g(x)$ 的非齐次线性微分方程，则右端项的差为：

$$
C – C = 0
$$

或者：

$$
g(x) – g(x) = 0
$$

此时，根据简单的几何规则可知，其两个解的差也是对应的齐次线性微分方程的解，如图 24 所示：

此时，同样证明了在右端项为常数的非齐次线性微分方程中解的“叠加原理”是成立的.

§2.2 叠加原理的传统数学证明

已知，在齐次线性微分方程 $L[y] = 0$ 中，对任意的 $y_{1}$, $y_{2}$, 有：

$$
\begin{align}
& L[c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}] = c_{1}L[y_{1}] + c_{2}L[y_{2}] \tag{1} \\ \notag \\ \notag
& L[c_{1}y_{1} – c_{2}y_{2}] = c_{1}L[y_{1}] – c_{2}L[y_{2}] \tag{2} \\ \notag \\ \notag
\end{align}
$$

因此，如果 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 都是齐次线性微分方程 $L[y] = 0$ 的解，即：

$$
L[y_{1}] = 0, \quad L[y_{2}] = 0
$$

则有：

$$
L[c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}] = c_{1} \cdot 0 + c_{2} \cdot 0 = 0
$$

$$
L[c_{1} y_{1} – c_{2} y_{2}] = c_{1} \cdot 0 – c_{2} \cdot 0 = 0
$$

于是可知，$c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$ 和 $c_{1} y_{1} – c_{2} y_{2}$ 仍然是齐次线性微分方程 $L[y] = 0$ 的解.

综上可知，叠加原理在齐次线性微分方程 $L[y] = 0$ 中成立.

由于在非线性微分方程中，不存在如上面的 $(1)$ 式这样的等式，所以，叠加原理在非线性微分方程中不成立.

类似地，在非齐次线性微分方程 $L[y] = C$ 中，对任意的 $y_{1}$, $y_{2}$, 有：

$$
L[c_{1} y_{1} + c_{2}y_{2}] = c_{1} L[y_{1}] + c_{2} L[y_{2}] \tag{1}
$$

$$
L[c_{1} y_{1} – c_{2}y_{2}] = c_{1} L[y_{1}] – c_{2} L[y_{2}] \tag{2}
$$

因此，如果 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 都是齐次线性微分方程 $L[y] = C$ 的解，即：

$$
L[y_{1}] = C, \quad L[y_{2}] = C
$$

则有：

$$
L[c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}] = c_{1} \cdot C + c_{2} \cdot C = \left( c_{1} + c_{2} \right) \cdot C
$$

$$
L[c_{1} y_{1} – c_{2} y_{2}] = c_{1} \cdot C – c_{2} \cdot C = \left( c_{1} – c_{2} \right) \cdot C
$$

于是可知，$c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$ 和 $c_{1} y_{1} – c_{2} y_{2}$ 分别是非齐次线性微分方程 $L(y) = \left( c_{1} + c_{2} \right) \cdot C$ 和 $L(y) = \left( c_{1} – c_{2} \right) \cdot C$ 的解——线性微分方程解的“叠加原理”在此时成立.

类似地，在非齐次线性微分方程 $L[y] = g(x)$ 中，对任意的 $y_{1}$, $y_{2}$, 有：

$$
L[c_{1} y_{1} + c_{2}y_{2}] = c_{1} L[y_{1}] + c_{2} L[y_{2}] \tag{1}
$$

$$
L[c_{1} y_{1} – c_{2}y_{2}] = c_{1} L[y_{1}] – c_{2} L[y_{2}] \tag{2}
$$

因此，如果 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 都是齐次线性微分方程 $L[y] = g(x)$ 的解，即：

$$
L[y_{1}] = g(x), \quad L[y_{2}] = g(x)
$$

则有：

$$
L[c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}] = c_{1} \cdot g(x) + c_{2} \cdot g(x) = \left( c_{1} + c_{2} \right) \cdot g(x)
$$

$$
L[c_{1} y_{1} – c_{2} y_{2}] = c_{1} \cdot g(x) – c_{2} \cdot g(x) = \left( c_{1} – c_{2} \right) \cdot g(x)
$$

于是可知，$c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$ 和 $c_{1} y_{1} – c_{2} y_{2}$ 分别是非齐次线性微分方程 $L(y) = \left( c_{1} + c_{2} \right) \cdot g(x)$ 和 $L(y) = \left( c_{1} – c_{2} \right) \cdot g(x)$ 的解——线性微分方程解的“叠加原理”在此时成立.

§2.3 补充

上述所有证明过程和所得的结论对于线性微分方程中三个及以上的解的情况也是成立的.

三、总结

在本文中，「荒原之梦考研数学」通过形象直观的“峰式图”方法，以及传统数学的推理证明方法，为同学们详细阐释和证明了高等数学中线性微分方程解的“叠加原理”的本质逻辑，同时也证明了为什么非线性微分方程的解不具备“叠加原理”的性质.

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