如何理解微分方程的线性和非线性概念？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过定义和举例等方式，为同学们讲解明白线性微分方程与非线性微分方程之间的异同点，以及各自的特点.

二、正文

§2.1 什么是线性微分方程

定义：

在一个微分方程中，如果未知函数 $y$ 以及它的各阶导数 $y^{\prime}$, $y^{\prime \prime}$, $\dots$ 都只以一次幂出现（或者不出现），且没有互相相乘，也没有出现在非线性函数（如 $\sin y$、$\cos y ^{\prime}$、$\mathrm{e}^{y}$、$y^{2}$）中，这样的微分方程就被成为线性微分方程.

线性常微分方程的一般形式：

$$
a_{n}(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}(x) y^{\prime} + a_{0}(x)y = g(x)
$$

其中：当右端 $g(x) = 0$ 时，该微分方程就是齐次线性常微分方程；当右端 $g(x) \neq 0$ 时，该微分方程就是非齐次线性常微分方程.

下面的微分方程都是线性微分方程：

$$
\begin{aligned}
& y^{\prime} + 3y = \sin x \\ \\
& y^{\prime \prime} – xy^{\prime} + y = 0
\end{aligned}
$$

线性微分方程的特点：

1. 满足解的叠加原理；
2. 解的结构很清晰，即：非齐次的通解 = 齐次的通解 + 非齐次的特解；
3. 线性微分方程有齐次和非齐次之分.

§2.2 什么是非线性微分方程

只要一个微分方程符合下列任意一种情况，则该微分方程就属于非线性微分方程：

1. 存在 $y^{2}$、$y^{3}$、$\left( y ^{\prime} \right)^{2}$ 等高次幂；
2. 存在 $y \times y^{\prime}$、$y^{\prime} \times y^{\prime \prime}$ 等乘积；
3. 存在 $\sin y$、$\cos y ^{\prime}$、$\mathrm{e}^{y}$、$\ln y$ 等非线性函数；
4. 系数依赖于未知函数，比如 $a(y) y^{\prime}$.

下面的微分方程都是非线性微分方程：

$$
\begin{aligned}
& y^{\prime} = y^{2} \\ \\
& y^{\prime \prime} + y y^{\prime} = 0 \\ \\
& y^{\prime} + \sin(y) = x
\end{aligned}
$$

非线性微分方程的特点：

1. 不满足解的叠加原理；
2. 解的结构可能很复杂，很多非线性微分方程没有解析解，只能依靠数值或定性分析等方法求解近似解；
3. 非线性微分方程没有齐次和非齐次之分.

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