微分方程的分类：常微分方程和偏微分方程

一、前言

微分方程（Differential Equation, DEQ）分为常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）和偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）.

$$
\mathrm{ DEQ } \begin{cases}
\mathrm{ ODE } \\
\mathrm{ PDE }
\end{cases}
$$

如图 01 所示，如果对常微分方程和偏微分方程做进一步的细分，就可以发现，无论常微分方程还是偏微分方程，都有一阶、二阶、三阶……，以及线性和非线性之分，但是，只有线性的常微分方程和线性的偏微分方程才有齐次和非齐次之分，非线性的微分方程是没有齐次和非齐次之分的：

从形式上来看，ODE 和 PDE 的主要区别就是自变量的个数不同：ODE 只有一个自变量，PDE 则包含多个自变量.

由于对单变量函数的求导所得的导函数也被称为“常导数”，所以，只有一个自变量的微分方程就被称为常微分方程；类似地，由于对含有多个自变量的函数只能求偏导数，所以，含有多个自变量的微分方程就被称为偏微分方程.

在考研数学中，只考察仅包含一个自变量的常微分方程.

二、正文

§2.1 常微分方程

常微分方程就是 由 只包含一个自变量的未知函数对该自变量的导数 组成 的方程. 因此，常微分方程只能描述单维度的变化，比如描述一个物体随时间 $t$ 的运动位置.

下面是一个简单的一阶线性常微分方程：

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + 16y = 0
$$

其中，$y = y(x)$.

§2.2 偏微分方程

偏微分方程就是 由 包含两个及以上个数的自变量的未知函数对该自变量的导数 组成 的方程. 因此，偏微分方程能够描述多维度的变化，比如描述热量在一个金属板上随时间 $t$ 和位置 $x, y$ 的扩散.

下面是一个描述一维尺度中热传导的偏微分方程：

$$
\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
$$

其中，$u = u(x, t)$.

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