从分式中拆分出常数的三个快速公式

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过公式的推导，帮助同学们在遇到下面这样的式子时可以从中快速拆分出常数，从而方便进行积分、求导等运算：

$$
\frac{a x^{2} + b}{1+x^{2}} \quad \quad \frac{a x^{2} + b}{1 + cx^{2}} \quad \quad \frac{a x^{2} + b}{d + cx^{2}}
$$

我们的目标是，对上面的式子，建立下面的等式：

$$
\begin{align}
\frac{a x^{2} + b}{1+x^{2}} & = A – \frac{B}{1 + x^{2}} \tag{1} \\ \notag \\
\frac{a x^{2} + b}{1 + cx^{2}} & = A – \frac{B}{1 + c x^{2}} \tag{2} \\ \notag \\
\frac{a x^{2} + b}{d + cx^{2}} & = A – \frac{B}{d + c x^{2}} \tag{3}
\end{align}
$$

其中，$a$, $b$, $c$ 和 $d$ 是已知的常数，$A$ 和 $B$ 是未知常数.

二、正文

事实上，我们将上面的 $(1)$, $(2)$ 和 $(3)$ 式的顺序反过来，就可以建立 $A$, $B$ 与 $a$, $b$, $c$, $c$ 之间的等式，从而完成公式的推导（在具体做题的时候，同学们如果记不住对应的公式，也可以按照这个方式手动推导一下）：

$$
\begin{align}
& \textcolor{lightgreen}{ A – \frac{B}{1 + x^{2}} } = \frac{A + Ax^{2} – B}{1 + x^{2}} = \frac{a x^{2} + b}{1+x^{2}} \notag \\ \notag \\
\leadsto \ &
\begin{cases}
b = A – B \\
a = A
\end{cases} \leadsto \textcolor{lightgreen}{
\begin{cases}
A = a \\
B = a – b
\end{cases}
} \tag{4}
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
& \textcolor{lightgreen}{ A – \frac{B}{1 + cx^{2}} } = \frac{A + Ac x^{2} – B}{1 + cx^{2}} = \frac{a x^{2} + b}{1 + cx^{2}} \notag \\ \notag \\
\leadsto \ &
\begin{cases}
b = A – B \\
a = Ac
\end{cases} \leadsto \textcolor{lightgreen}{
\begin{cases}
A = \frac{a}{c} \\
B = \frac{a}{c} – b
\end{cases}
} \tag{5}
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
& \textcolor{lightgreen}{ A – \frac{B}{d + cx^{2}} } = \frac{Ad + Acx^{2} – B}{d + cx^{2}} = \frac{a x^{2} + b}{d + cx^{2}} \notag \\ \notag \\
\leadsto \ &
\begin{cases}
b = Ad – B \\
a = Ac
\end{cases} \leadsto \textcolor{lightgreen}{
\begin{cases}
A = \frac{a}{c} \\
B = \frac{ad}{c} – b
\end{cases}
} \tag{6}
\end{align}
$$

综合上面的 $(1)$ ~ $(6)$ 式可知：

$$
\begin{align}
\textcolor{lightgreen}{ \frac{a x^{2} + b}{1+x^{2}} } & = \textcolor{lightgreen}{ a – \frac{a-b}{1 + x^{2}} } \tag{7} \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \frac{a x^{2} + b}{1 + cx^{2}} } & = \textcolor{lightgreen}{ \frac{a}{c} – \frac{\frac{a}{c} – b}{1 + c x^{2}} } \tag{8} \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \frac{a x^{2} + b}{d + cx^{2}} } & = \textcolor{lightgreen}{ \frac{a}{c} – \frac{\frac{ad}{c} – b}{d + c x^{2}} } \tag{9}
\end{align}
$$

上面的 $(7)$, $(8)$, $(9)$ 式就是我们需要，从分式中拆分出常数的快速公式.

下面，我们就是用上面得到的公式，求解下面这道题目：

题目

$$
\int \left(\mathrm{e}^{x}+\frac{3 x^{2}}{1+x^{2}}\right) \mathrm{~d} x = ?
$$

解析

首先：

$$
\int \left(\mathrm{e}^{x}+\frac{3 x^{2}}{1+x^{2}}\right) \mathrm{~d} x = \int \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x+3 \int \textcolor{orange}{ \frac{x^{2}}{1+x^{2}} } \mathrm{~d} x
$$

又由上面的 $(7)$ 式对应的公式可知，对于 $\textcolor{orange}{ \frac{x^{2}}{1+x^{2}} }$ 而言，$a = 1$, $b = 0$, 既：

$$
\textcolor{orange}{ \frac{x^{2}}{1+x^{2}} } = \textcolor{orange}{ 1 – \frac{1}{1 + x^{2}} }
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\int \left(\mathrm{e}^{x}+\frac{3 x^{2}}{1+x^{2}}\right) \mathrm{~d} x & = \mathrm{e}^{x}+3 \int\left( \textcolor{orange}{ 1-\frac{1}{1+x^{2}} } \right) \mathrm{~d} x +C \\ \\
& = \mathrm{e}^{x}+3 x-3 \arctan x+C
\end{aligned}
$$

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