一阶偏导数定义的理解

一、前言

导数是对一元函数而言的，偏导数（偏导数有时也称为“偏微商”）是对多元函数而言的. 在本文中，我们就基于二元函数 $z = f(x, y)$ 来理解其一阶偏导数的定义.

二、正文

我们知道，一元函数 $f(x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处的一阶导数是通过因变量的增量 $f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})$ 与自变量的增量 $\Delta x$ 之比的极限定义的，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f ^{\prime} (x_{0}) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x} } \tag{1}
$$

如果上面 $(1)$ 式的极限存在，则函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的导数存在.

类推可知，一元函数 $f(y)$ 在点 $y = y_{0}$ 处的一阶导数是通过因变量的增量 $f(y_{0} + \Delta y) – g(y_{0})$ 与自变量的增量 $\Delta y$ 之比的极限定义的，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f ^{\prime} (y_{0}) = \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(y_{0} + \Delta y) – f(y_{0})}{\Delta y} } \tag{2}
$$

如果上面 $(2)$ 式的极限存在，则函数 $f(x)$ 在 $y = y_{0}$ 处的导数存在.

于是，对于二元函数（或者多元函数）的一阶偏导数，我们可以做类似的定义.

但是，由于二元函数（或者多元函数）的自变量并不是只有一个，所以，在对二元函数（或者多元函数）的其中一个自变量求一阶偏导的时候，我们需要将其他的自变量看作某个固定的常数值（或者直接将其他自变量看作常数）——

例如，对于二元函数 $z = f(x, y)$：

1. 如果我们将自变量 $y$ 固定为某个常数 $y_{0}$, 即令 $y = y_{0}$, 则函数 $z = f(x, y_{0})$ 实际上就是只包含一个自变量 $x$ 的一元函数，从而就可以根据上面的 $(1)$ 对其中的自变量 $x$ 进行求导（对于多元函数，我们称此为求“偏导”）；
2. 如果我们将自变量 $x$ 固定为某个常数 $x_{0}$, 即令 $x = x_{0}$, 则函数 $z = f(x_{0}, y)$ 实际上就是只包含一个自变量 $y$ 的一元函数，从而就可以根据上面的 $(2)$ 对其中的自变量 $y$ 进行求导（对于多元函数，我们称此为求“偏导”）；

根据上面的分析，我们可以得出在二元函数 $z = f(x, y)$ 中对自变量 $x$ 和自变量 $y$ 求偏导的定义，如下：

若函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 的某个邻域内有定义，则：

1. 将 $y$ 固定为 $y_{0}$, 若极限

$$
\textcolor{lightgreen}{
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x, y_{0}) – f(x_{0}, y_{0})}{\Delta x} } \tag{3}
$$

存在，则称该极限值为 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处关于 $x$ 的一阶偏导数.

我们可以将上面的 $(3)$ 式记作：

$$
f_{x}(x_{0}, y_{0}) \quad \quad \frac{\partial f(x_{0}, y_{0})}{\partial x} \quad \quad \left. \frac{\partial z}{\partial x} \right |_{(x_{0}, y_{0})} \quad \quad z_{x} \big |_{(x_{0}, y_{0})}
$$

如果是整个函数 $z = f(x, y)$ 关于自变量 $x$ 的偏导数（而不是一点处的偏导数），则记作：

$$
f_{x} \quad \quad \frac{\partial f}{\partial x} \quad \quad \frac{\partial z}{\partial x} \quad \quad z_{x}
$$

需要注意的是，我们一般情况下，不将 $f_{x}(x_{0}, y_{0})$ 写作 $f^{\textcolor{orangered}{ \prime }}_{x}(x_{0}, y_{0})$.

2. 将 $x$ 固定为 $x_{0}$, 若极限

$$
\textcolor{lightgreen}{
\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_{0}, y_{0} + \Delta y) – f(x_{0}, y_{0})}{\Delta y} } \tag{4}
$$

存在，则称该极限值为 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处关于 $y$ 的一阶偏导数.

我们可以将上面的 $(4)$ 式记作：

$$
f_{y}(x_{0}, y_{0}) \quad \quad \frac{\partial f(x_{0}, y_{0})}{\partial y} \quad \quad \left. \frac{\partial z}{\partial y} \right | _{(x_{0}, y_{0})} \quad \quad z_{y} \big |_{(x_{0}, y_{0})}
$$

如果是整个函数 $z = f(x, y)$ 关于自变量 $x$ 的偏导数（而不是一点处的偏导数），则记作：

$$
f_{y} \quad \quad \frac{\partial f}{\partial y} \quad \quad \frac{\partial z}{\partial y} \quad \quad z_{y}
$$

需要注意的是，我们一般情况下，不将 $f_{y}(x_{0}, y_{0})$ 写作 $f^{\textcolor{orangered}{ \prime }}_{y}(x_{0}, y_{0})$.

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