函数表达式就是函数本身吗？

一、前言

函数可以表示成函数表达式，也可以表示成函数图象，甚至也可以用一系列的坐标点表示（几乎所有的计算机绘图使用的都是这种方式）——

我们知道，函数图象和函数的点阵坐标都只是对函数的近似表示，严格地说，无论函数图象，还是函数的点阵坐标，都不是函数本身.

那么，函数的表达式和函数是完全等价的关系吗？

二、正文

要想搞清楚函数的表达式和函数是否是等价关系，首先需要明白什么是函数——

在标准定义中，函数是通过集合的概念被定义的：集合 $x$ 到集合 $F(x)$ 的函数 $F$ 将集合 $F(x)$ 中的每一个元素都恰好分配给集合 $x$ 中的每一个元素. 其中，集合 $x$ 称为函数 $F$ 的定义域，集合 $F(x)$ 称为函数 $F$ 的到达域，或者值域.

当然，一个函数可以有多个集合作为其定义域，但只能有只一个值域.

我们可以将函数看作是一个对输入进行处理，并产生输出的“黑箱”，当输入的变量只有一个的时候，就是一个单变量函数，如图 01 所示；当输入的变量有两个及以上的时候，就是一个多变量函数，如图 02 所示：

而函数的表达式、函数图象、坐标点等，都是我们描述函数的一种形式.

所以，对于如图 01 所示的函数 $F$, 即便我们将其变量更换为另一个字母 $n$, 所得函数值为 $F(n)$, 但 $F(n)$ 中的函数 $F$ 和原来的 $F(x)$ 中的函数 $F$ 仍然是同一个函数.

或者说，只要定义域相同，函数映射的规则也相同，则函数 $F(n)$ $=$ $n^{2}$ 和函数 $F(x)$ $=$ $x^{2}$ 本质上对应的就是同一个函数，函数 $f(x)$ $=$ $1$ 和函数 $g(x)$ $=$ $x^{0}$ 本质上也是同一个函数——同一个函数可能有不同的表达式.

当然，由于定义域或者函数所指内容的不同，同一个函数表达式，表示的函数也可能不相同——同一个表达式可能对应不同的函数.

此外，并不是所有的函数都有对应的表达式——

事实上，我们随便在纸上绘制一个不存在无穷大斜率的曲线（或者直线，或者折线）并将其看作函数图象的话，这个函数图象都对应着一个函数，但是，这样的函数图象一般情况下都无法找到对应的表达式. 也就是说，能够用表达式表示的函数只占所有可能的函数中的很少的一部分.

还需要说明的是，我们对函数所作的微分运算、积分运算、求导运算等，本质上都是对函数表达式进行的运算，而不是对函数本身进行的运算.