公式类推的过程中一定要注意约束条件是否唯一

一、前言

对公式做类推，通常可以让我们借助一个较简单的公式，直接得到一个较复杂的公式，并且不需要经过太多的推理过程.

在对公式做类推的时候，往往只能考虑一个变量，如果考虑两个及以上的变量，则会让整个类推的过程变得很复杂. 所以，在对公式做类推的时候，一定要注意识别类推得出的式子与之前的式子相比，是不是只有一个变量发生变化.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过 $\ln x$ 和 $\ln (1-x)$ 的多阶导表达式的类推，来阐述上面的问题.

二、正文

首先，对 $\ln x$ 进行求导可得：

$$
\left( \ln x \right) ^{\prime} = \frac{1}{x}
$$

$$
\left( \ln x \right) ^{\prime \prime} = – \frac{1}{x^{2}}
$$

$$
\left( \ln x \right) ^{\prime \prime \prime} = 2! \cdot \frac{1}{x^{3}}
$$

于是可知，对 $\ln x$ 求 $n$ 阶导的公式为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1} \cdot \frac{ (n-1)! }{ x^{n} }
} \tag{1}
$$

但是，根据上面的公式 $(1)$ 类推得到的下面的公式 $(2)$（对 $\ln (1-x)$ 求 $n-2$ 阶导的公式）是错误的：

$$
\begin{align}
& [\ln(1-x)]^{(n-2)} = (-1)^{n-2-1} \cdot \frac{(n-2-1)!}{(1-x)^{n-2}} \notag \\ \notag \\
\leadsto \ & \textcolor{orangered}{[\ln(1-x)]^{(n-2)} = (-1)^{n-3} \cdot \frac{(n-3)!}{(1-x)^{n-2}} , \ n \geqslant 3
} \tag{2}
\end{align}
$$

这是因为，上面的公式 $(1)$ 到公式 $(2)$ 的过程中，$n$ 和 $x$ 两个变量都发生了改变，而公式 $(1)$ 到公式 $(2)$ 的类推过程中，只关注了变量 $n$ 的变化，而没有考虑变量 $x$ 的变化，所以得出了错误的结论.

事实上，如果我们对 $\ln(1-x)$ 求导就会发现，$\frac{(n-3)!}{(1-x)^{n-2}}$ 的前面并不需要使用 $(-1)^{n-3}$ 做正负性的控制，只需要直接乘以 $-1$ 即可：

$$
\begin{aligned}
\left[ \ln(1 – x) \right] ^{\prime} & = -1 \cdot \frac{1}{1 – x} \\ \\
\left[ \ln(1 – x) \right] ^{\prime \prime} & = -1 \cdot \frac{1}{(1 – x)^{2}} \\ \\
\left[ \ln(1 – x) \right] ^{\prime \prime \prime} & = -1 \cdot \frac{2!}{(1 – x)^{3}} \\ \\
\left[ \ln(1 – x) \right]^{(4)} & = -1 \cdot \frac{3!}{(1 – x)^{4}}
\end{aligned}
$$

于是可知，对 $\ln(1-x)$ 求 $n$ 阶导的公式为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
[\ln(1-x)]^{(n)} = -1 \cdot \frac{(n-1)!}{(1-x)^{n}}
} \tag{3}
$$

接着，根据上面的公式 $(3)$, 可以类推得到的 $\ln(1-x)$ 求 $n-1$ 阶导和 $n-2$ 阶导的公式为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
[\ln(1-x)]^{(n-1)} = -1 \cdot \frac{(n-2)!}{(1-x)^{n-1}}
} \tag{4}
$$

$$
\textcolor{lightgreen}{
[\ln(1-x)]^{(n-2)} = -1 \cdot \frac{(n-3)!}{(1-x)^{n-2}}
} \tag{5}
$$

---