矩阵 A 相似对角化中的可逆矩阵 P 为什么是由矩阵 A 的特征向量组成的？

一、前言

在《求解矩阵相似对角化中可逆矩阵 P 的步骤》这篇文章中，我们知道了求解矩阵相似对角化 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ $=$ $\boldsymbol{\Lambda}$ 中可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的步骤.

在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过对这一步骤必要性和充分性的分析，来说明为什么矩阵 $\boldsymbol{A}$ 相似对角化中的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 是由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量组成的.

在本文中，我们用 $\boldsymbol{\Lambda}$ 表示对角矩阵.

二、正文

§2.1 必要性

首先，假设存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ $=$ $\begin{bmatrix}
\boldsymbol{p}_{1} \ \boldsymbol{p}_{2} \ \cdots \ \boldsymbol{p}_{n}
\end{bmatrix}$ 和对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ $=$ $\begin{bmatrix}
\lambda_{1} & & & \\
& \lambda_{2} \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_{n}
\end{bmatrix}$ 满足：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}
} \tag{1}
$$

其中，$\boldsymbol{p}_{1}$, $\boldsymbol{p}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{p}_{n}$ 是线性无关的列向量.

接着，在上面 $(1)$ 式的等号两边同时左乘矩阵 $\boldsymbol{P}$, 得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda}
} \tag{2}
$$

于是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_{1} \ \boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_{2} \ \cdots \ \boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_{n} \\ \\
& \boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda} = \lambda_{1} \boldsymbol{p}_{1} \ \lambda_{2} \boldsymbol{p}_{2} \ \cdots \ \lambda_{n} \boldsymbol{p}_{n}
\end{aligned}
} \tag{3}
$$

结合上面的 $(2)$ 式和 $(3)$ 式，可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_{i} = \lambda_{i} \boldsymbol{p}_{i}
} \tag{4}
$$

由于在上面的 $(4)$ 式中，$\lambda_{i}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，$\boldsymbol{p}_{i}$ 是特征值 $\lambda_{i}$ 对应的特征向量——

所以，从必要性层面我们可以证明，矩阵 $\boldsymbol{P}$ 是由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量组成的.

§2.2 充分性

首先，假设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $\boldsymbol{v}_{1}, \ \boldsymbol{v}_{2}, \ \dots, \ \boldsymbol{v}_{n}$，即下式成立：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A} \boldsymbol{v}_{i} = \lambda_i \boldsymbol{v}_{i} \quad (i=1, \ 2, \ \dots, \ n)
} \tag{5}
$$

若令：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
& \boldsymbol{P} = \begin{bmatrix}
\boldsymbol{v}_{1} \ \boldsymbol{v}_{2} \ \cdots \ \boldsymbol{v}_{n}
\end{bmatrix} \\ \\
& \boldsymbol{\Lambda} = \begin{bmatrix}
\lambda_{1} & & & \\
& \lambda_{2} \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_{n}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
} \tag{6}
$$

又因为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{v}_{1} \ \boldsymbol{A} \boldsymbol{v}_{2} \ \cdots \ \boldsymbol{A} \boldsymbol{v}_{n} \\ \\
& \boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda} = \lambda_{1} \boldsymbol{v}_{1} \ \lambda_{1} \boldsymbol{v}_{2} \ \cdots \ \lambda_{n} \boldsymbol{v}_{n}
\end{aligned}
} \tag{7}
$$

结合上面的 $(5)$ 式和 $(7)$ 式，可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda}
} \tag{8}
$$

在上面 $(7)$ 式的等号两边同时左乘矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1}$, 得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}
} \tag{9}
$$

由于在上面的 $(9)$ 式中，矩阵 $\boldsymbol{P}$ 是由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量组成的，矩阵 $\Lambda$ 是由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值组成的，整个式子也符合矩阵相似对角化的定义——

所以，从充分性层面我们可以证明，矩阵 $\boldsymbol{P}$ 是由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量组成的.

综上可知，在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 相似对角化 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ $=$ $\boldsymbol{\Lambda}$ 中，用矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量组成所需的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 具有充分必要性.

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