求解矩阵相似对角化中可逆矩阵 P 的步骤

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将从矩阵的特征值、特征向量与相似对角化的定义出发，为同学们讲解清楚求解矩阵相似对角化中可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的步骤.

有关这一步骤正确性的证明，可以查阅《矩阵 A 相似对角化中的可逆矩阵 P 为什么是由矩阵 A 的特征向量组成的？》这篇文章.

二、正文

在求解矩阵相似对角化中可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的时候，我们需要用到矩阵的特征值 $\lambda$, 特征向量 $\alpha$, 以及矩阵相似对角化的定义.

所以，我们先来看看上面这三个概念都是怎么求解或定义的——

1. 特征值：

对于矩阵 $\boldsymbol{A}$, 我们可以通过下面的公式求解出其特征值 $\lambda$:

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A} – \lambda \boldsymbol{E}
\end{vmatrix} = 0
} \tag{1}
$$

2. 特征向量：

对于矩阵 $\boldsymbol{A}$, 在已知其特征值 $\lambda$ 的时候，我们可以通过下面的等式求解出每个特征值对应的特征向量 $\alpha$:

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A} \alpha = \lambda \alpha
} \tag{2}
$$

在实际使用的时候，我们更多的是通过解下面式子中的 $x$ 得到 $\lambda$ 对应的特征向量 $\alpha$:

$$
\textcolor{lightgreen}{
\left( \boldsymbol{A} – \lambda \boldsymbol{E} \right) x = 0
} \tag{3}
$$

3. 矩阵的相似对角化：

如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以被相似对角化，那么，一定存在一个可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和对角矩阵 $\Lambda$, 使得下式成立：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \Lambda
} \tag{4}
$$

或者：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P} \Lambda \boldsymbol{P}^{-1}
} \tag{5}
$$

其中，对角矩阵 $\Lambda$ 主对角线上的元素就是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值, 矩阵 $\boldsymbol{P}$ 由特征值 $\lambda$ 对应的特征向量按照与特征值对应的次序排列组成.

综上，我们知道，要求解矩阵 $\boldsymbol{A}$ 相似对角化中的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 实际上就是先求解矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，再据此求解矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量，之后通过特征向量组合成矩阵 $\boldsymbol{P}$.

以上就是求解矩阵相似对角化中可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的步骤.

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