解这道题不需要记住公式，只需要撕下两个“纸条”

一、题目

⟨A⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $n$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $n$.

⟨B⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $m$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $n$.

⟨C⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $n$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $m$.

⟨D⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $m$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $m$.

二、解析

§2.1 传统解法

由 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E}$，可知：

$$
r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) = m
$$

又由《矩阵秩的性质汇总》这篇文章可知：

$$
\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \leqslant \min(\mathrm{r} (\boldsymbol{A}), \mathrm{r} (\boldsymbol{B}))
$$

因此可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} (\boldsymbol{A}) \geqslant m, \mathrm{r}(\boldsymbol{B}) \geqslant m } \tag{1}
$$

同样由《矩阵秩的性质汇总》这篇文章可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} (\boldsymbol{A}) \leqslant m, \ \mathrm{r} (\boldsymbol{B}) \leqslant m } \tag{2}
$$

综上可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
\mathrm{r} (\boldsymbol{A}) = m, \ \mathrm{r} (\boldsymbol{B}) = m
}
$$

综上可知，本 题 应 选 ⟨D⟩

§2.2 “峰式”画图法

本章节所用到的解法基于：《峰式图：通过构建折线形矩阵研究矩阵秩的几何形态及矩阵的秩在矩阵乘法运算中表现出的性质》

§2.2.1 当 $n \geqslant m$ 时

如果我们用绿色边框的长方形表示矩阵 $\boldsymbol{A}$, 用橙色边框的长方形表示矩阵 $\boldsymbol{B}$, 则当 $n \geqslant m$ 时，可以绘制出如图 01 所示的示意图：

对于矩阵乘法运算 $\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}$, 根据《峰式图：通过构建折线形矩阵研究矩阵秩的几何形态及矩阵的秩在矩阵乘法运算中表现出的性质》这篇文章中的“叠影”操作，我们可以得到如图 02 所示的示意图：

在上面的图 02 中，蓝色阴影区域所在的正四边形表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 相乘所得的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$，其边长为 $m$.

同时，图 02 中蓝色阴影区域（边长为 $m$ 的正四边形）也完全可以放在如图 03 所示的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 对应的长方形内部，因此说明，此时矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的秩都是 $m$:

§2.2.2 当 $m \geqslant n$ 时

如果我们用绿色边框的长方形表示矩阵 $\boldsymbol{A}$, 用橙色边框的长方形表示矩阵 $\boldsymbol{B}$, 则当 $m \geqslant n$ 时，可以绘制出如图 04 所示的示意图：

对于矩阵乘法运算 $\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}$, 根据《峰式图：通过构建折线形矩阵研究矩阵秩的几何形态及矩阵的秩在矩阵乘法运算中表现出的性质》这篇文章中的“叠影”操作，我们可以得到如图 05 所示的示意图：

上面的图 05 中紫色边框的正四边形表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 相乘所得的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$, 但是，从几何性质上可以直接看出，紫色边框的正四边形不可能放进蓝色边框或者橙色边框的长方形中，因此，紫色边框的正四边形不可能是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 相乘所得的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$.

综上可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
& \mathrm{r} (\boldsymbol{A}) = m, \ \mathrm{r} (\boldsymbol{B}) = m \\ \\
& n \geqslant m
\end{aligned}
}
$$

综上可知，本 题 应 选 ⟨D⟩

观察上面的过程，核心就是两个长方形——所以，我们完全可以撕下来两个纸条来实现这个推导过程，是不是很直观，很方便呢？

关于 $n \geqslant m$ 的传统证明方法见下面的 $§2.3$ 章节.

§2.3 补充：关于 m 和 n 谁大的证明

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 阶的矩阵，$\boldsymbol{B}$ 为 $n \times m$ 阶的矩阵，若 $\mathrm{r} (\boldsymbol{A}) = m$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B}) = m$, 请证明 $n \geqslant m$.

证明

对于矩阵 $\boldsymbol{A}$, 我们有：

$$
\begin{aligned}
& m = \mathrm{r}(\boldsymbol{A}) \leqslant \min(m, n) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & m \leqslant \min (m, n) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & m \leqslant n
\end{aligned}
$$

若 $m > n$，则 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}) \leqslant n < m$，与 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}) = m$ 矛盾.

对于矩阵 $\boldsymbol{B}$, 我们有：

$$
\begin{aligned}
& m = \mathrm{r}(\boldsymbol{B}) \leqslant \min(m, n) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & m \leqslant \min (m, n) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & m \leqslant n
\end{aligned}
$$

若 $m > n$，则 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B}) \leqslant n < m$，与 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B}) = m$ 矛盾.

综上可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
n \geqslant m
}
$$

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