满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵的秩该怎么判断？

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵是否满秩？》这篇文章中，我们知道：

• 两个同阶满秩的方阵相乘所得的矩阵一定也满秩；
• 两个同阶的方阵，如果一个满秩一个不满秩，则相乘得到的矩阵一定不满秩.

而在本文中，我们就通过具体的公式推导，来看看，满秩或者不满秩的方阵相乘，所得的矩阵的秩为什么值.

二、正文

若矩阵 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 是 $\boldsymbol{A}_{n \times m}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}_{m \times k}$ 相乘得到的矩阵，则有以下公式：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{align}
& \mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right) \leqslant \mathrm{min} \left[ \mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \right), \mathrm{r} \left( \boldsymbol{B} \right) \right] \tag{1} \\ \notag \\
& \mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right) \geqslant \mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \right) + \mathrm{r} \left( \boldsymbol{B} \right) – m \tag{2} \\ \notag \\
& \mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right) \geqslant 0 \tag{3}
\end{align}
}
$$

因此，为了求解矩阵 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 的秩，我们就需要使用上面的公式.

例如，若 $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A}_{21 \times 30} \right)$ $=$ $6$, $\mathrm{r} \left( \boldsymbol{B}_{30 \times 31} \right)$ $=$ $17$, 则：

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right) \leqslant \mathrm{min} \left[ 6, 17 \right] = 6 \\ \\
& \mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right) \geqslant 6 + 17 – 30 = -7 \\ \\
& \mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right) \geqslant 0
\end{aligned}
$$

于是：

$$
0 \leqslant \mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right) \leqslant 6
$$

综上可知，$\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right)$ 的取值可能是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right) = 0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6
}
$$

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