有关自然常数 e 极限公式的两个常见变形

已知公式

对于自然常数 $\mathrm{e}$, 我们有：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = \mathrm{e}
$$

变形一

题目

已知 $a$ 为正整数，则：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{ax} = ?
$$

解析

$$
\begin{aligned}
\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{ax} & = \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{a} \\ \\
& = \mathrm{e}^{a}
\end{aligned}
$$

变形二

已知 $a$ 为正整数，则：

$$
\lim_{x \rightarrow 0}(1 + ax)^{\frac{1}{x}} = ?
$$

解析

首先，令 $y = (ax)^{-1}$, 即：

$$
ax = \frac{1}{y}, \ x = \frac{1}{ay}, \ y \rightarrow \infty
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\lim_{x \rightarrow 0} (1 + ax)^{\frac{1}{x}} & = \lim_{y \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^{ay} \\ \\
& = \lim_{y \rightarrow \infty} \left[ \left(1 + \frac{1}{y}\right)^{y} \right]^{a} \\ \\
& = \mathrm{e}^{a}
\end{aligned}
$$

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