矩阵秩的性质汇总

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们总结一下线性代数中矩阵的秩有关的性质/结论/公式.

二、正文

1. 若 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 阶矩阵，则 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}) \leqslant \min(m, n)$——或者说，$\mathrm{r}(\boldsymbol{A}) \leqslant m$ 且 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}) \leqslant n$;
2. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \leqslant \mathrm{r}(\boldsymbol{A})+\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$;
3. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) \leqslant \min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$;
4. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(k\boldsymbol{A}), \quad (k\ne 0)$；
5. 一个矩阵乘以可逆矩阵后秩不发生改变；
6. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}^{\top})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\top})$;
7. 若 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 阶矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $n \times s$ 阶矩阵，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} = \boldsymbol{O}$, 则 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}) + \mathrm{r}(\boldsymbol{B}) \leqslant n$.

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