基于环形矩阵初等变换图理解什么是可逆矩阵，什么是不可逆矩阵

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质》这篇文章中，我们看到了如何用矩阵初等变换图来表示可逆矩阵，而在本文中，我们就对矩阵初等变换图做进一步的升级，并基于升级之后的矩阵初等变换图表示出来不可逆的矩阵.

二、正文

在《通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质》这篇文章中，我们并没有在矩阵初等变换图中定义零矩阵 $\boldsymbol{O}$, 而不可逆矩阵一定显含或者隐含零向量，所以，我们必须在矩阵初等变换图中定义零矩阵 $\boldsymbol{O}$——

荒原之梦接下来对零矩阵的定义，事实上基于以下两点：

1. 位于 $0$ 左右两侧的实数都加起来一定等于零：$1$ $+$ $(-1)$ $+$ $2$ $+$ $(-2)$ $+$ $3.123$ $+$ $(-3.123)$ $+$ $\cdots$ $=$ $0$;
2. 矩阵的所有初等变换操作都是成对且相反的：乘以 $k$ 和除以 $k$; 加上第 $i$ 行和减去第 $i$ 行，等等……

所以，我们粗略地假设（这里并没有严格的论证），进行无穷多次任意的初等变换之后，一定可以将一个初等矩阵 $\boldsymbol{E}$ 变成一个零矩阵 $\boldsymbol{O}$, 因为 $0$ 是所有这些操作执行足够多次之后的“期望均值”.

于是，如图 01 所示，我们将矩阵初等变换图上白色圆点虚线的左右两端无穷远处定义为零矩阵 $\boldsymbol{O}$ 所在的位置：

但是，我们画不出来无穷远的位置，也就难以将上面关于零矩阵 $\boldsymbol{O}$ 的定义实用化. 所以，我们将图 01 中的白色圆点虚线向下弯曲，并使得位于无穷远处的零矩阵 $\boldsymbol{O}$ 连接在一起，并用空心红点表示，此时零矩阵 $\boldsymbol{O}$ 位于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 的正下方，从而构建了一个环形矩阵初等变换图，如图 02 所示：

根据我们在《通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质》这篇文章对矩阵初等变换图的定义，此时（如图 02 所示），白色虚线圆环左侧内部表示初等列（Column）变换，左侧外部表示初等行（Row）变换；白色虚线圆环右侧内部表示初等行（Row）变换，外部表示初等列（Column）变换.

于是，图 01 中的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 及其逆矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1}$ 就可以在环形矩阵初等变换图中表示为如图 03 所示的形式：

当然，对于其他的可逆矩阵，例如矩阵 $\boldsymbol{F}$ 及其逆矩阵 $\boldsymbol{F}^{-1}$, 我们可以在环形矩阵初等变换图中表示为如图 04 所示的形式：

观察上面的图 03 和图 04 可知，想要具备可逆矩阵必须具备的“逆对称”性质，就必须确保圆环左侧外侧的部分与圆环右侧内测的部分对应相同，同时也需要确保圆环左侧内测的部分与圆环右侧外侧的部分对应相同——

那么，如果一个表示矩阵初等变换操作集合的圆点位于白色虚线圆环圆周上的零矩阵点 $\boldsymbol{O}$ 处，则就不具备“逆对称”性质了. 因为，这意味着某一行（列），或者某些行（列）是全零行（列），或者是可以被矩阵中其他行（列）消为全零行（列）——当然，我们也可以说这种位于零矩阵点 $\boldsymbol{O}$ 处的情况属于特殊的“逆对称”，但由于矩阵的不可逆性质也是一种基于零向量的人为定义，所以，在这里我也将这种位于圆周上的情况定义为矩阵不可逆的表示形式.

所以：

如果矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的环形矩阵初等变换图如图 05 所示，那么，矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1}$ 就不是一个可逆矩阵，也就是不存在 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{P}^{-1} \end{bmatrix}^{-1}$ 这样一个矩阵：

如果矩阵 $\boldsymbol{F}^{-1}$ 的环形矩阵初等变换图如图 06 所示，那么，矩阵 $\boldsymbol{F}^{-1}$ 就不是一个可逆矩阵，也就是不存在 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^{-1} \end{bmatrix}^{-1}$ 这样一个矩阵：

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同此同时，与可逆矩阵和不可逆矩阵对应，荒原之梦：

• 将图 03 和图 04 所表示的初等变换称为“可逆类型的初等变换”；
• 将图 05 和图 06 所表示的初等变换称为“不可逆类型的初等变换”.

三、总结

在本文中，我们通过对零矩阵 $\boldsymbol{O}$ 的定义，并构建环形的矩阵初等变换图，实现了对可逆矩阵与不可逆矩阵的图形化表示与分析，可以帮助同学们建立对可逆矩阵与不可逆矩阵的更加形象和直观的认识.

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