由两道题得出的有关自然对数 $\ln$ 的两个二级结论

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两道题目，总结出以下两个有关自然对数 $\ln$ 的二级结论：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x = 0; \\ \\
& \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{a} \ln x = 0, \quad (a > 0).
\end{aligned}
$$

二、正文

§2.1 题目一

题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} y = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{x} = ?
$$

解析

观察可知，题目所给的式子是一个 $0^{0}$ 型未定式，根据《次幂形式的极限未定式，一般都可以先尝试取对数》可知，先取对数：

$$
\textcolor{yellow}{
\ln y = \ln x^{x} = x \ln x = \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \tag{1}
}
$$

当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时，上面的式子 $\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$ 是一个 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式，因此，可以尝试使用洛必达法则进行运算：

$$
\textcolor{yellow}{
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{-1} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} (-x) = 0 \tag{2}
}
$$

结合上面的 $\textcolor{yellow}{(1)}$ 式和 $\textcolor{yellow}{(2)}$ 式，可得：

$$
\begin{aligned}
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \ln y = & \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \ln x^{x} = 0 \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{ \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x = 0 } \\ \\
\leadsto \ & \lim_{x \rightarrow 0^{+}} y = \mathrm{e}^{\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x } = \mathrm{e}^{0} = 1
\end{aligned}
$$

综上可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} y = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{x} = 1
}
$$

§2.2 题目二

题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} y = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{x^{a}} = ?
$$

其中，$a > 0$ 为常数.

解析

观察可知，题目所给的式子是一个 $0^{0}$ 型未定式，根据《次幂形式的极限未定式，一般都可以先尝试取对数》可知，先取对数：

$$
\textcolor{yellow}{
\ln y = \ln x^{x^{a}} = x^{a} \ln x = \frac{\ln x}{\frac{1}{x^{a}}} \tag{3}
}
$$

当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时，上面的式子 $\frac{\ln x}{\frac{1}{x^{a}}}$ 是一个 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式，因此，可以尝试使用洛必达法则进行运算：

$$
\textcolor{yellow}{
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{\frac{1}{x^{a}}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{a+1}}{-a} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} (\frac{-1}{a} x^{a}) = 0 \tag{4}
}
$$

结合上面的 $\textcolor{yellow}{(3)}$ 式和 $\textcolor{yellow}{(4)}$ 式，可得：

$$
\begin{aligned}
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \ln y = & \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \ln x^{x^{a}} = 0 \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{ \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{a} \ln x = 0 } \\ \\
\leadsto \ & \lim_{x \rightarrow 0^{+}} y = \mathrm{e}^{\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{a} \ln x } = \mathrm{e}^{0} = 1
\end{aligned}
$$

综上可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} y = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{x^{a}} = 1
}
$$

---