扩展数列或者级数的原则：一次是特例，两次成规律

一、前言

如果我们有一个数列如下：

$$
\{ x_{n} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n \}
$$

那么，我们可以很容易地知道，数列 $\{ x_{n+1} \}$ 为：

$$
\{ x_{n+1} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n, n+1 \}
$$

类似地，如果我们有一个级数如下：

$$
x_{n} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n
$$

那么，我们可以很容易地知道，级数 $x_{n+1}$ 为：

$$
x_{n+1} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n + (n + 1)
$$

现在的问题是：

如果数列 $\{ x_{n} \}$ $=$ $\{ 1, \ \frac{1}{2}, \ \cdots, \ \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n} \}$, 则数列 $\{ x_{n+1} \} = ?$
如果级数 $x_{n}$ $=$ $1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n}$, 则级数 $x_{n+1} = ?$

二、正文

在扩展（续写）数列或者级数的时候，我们需要遵守以下三个原则：

“一次是特例”指的是：在数列或者级数中，出现一次的项的项的构造方式就是专门用于该项的构造方式；

“两次成规律”指的是：在数列或者级数中，出现两次及以上次数的项的构造方式就是用于其后很多项的构造方式，直到遇到专门用于某项的构造方式为止；

扩展后的数列或者级数要与扩展之前的数列或者级数保持相同的项的构造方式.

§2.1 由数列 $\{ x_{n} \}$ 写出数列 $\{ x_{n+1} \}$

根据“一次是特例，两次成规律”可知，在数列 $\{ x_{n} \}$ $=$ $\{ 1, \ \frac{1}{2}, \ \cdots, \ \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n} \}$ 中：

由于 “$\textcolor{lightgreen}{ \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n} }$” 这种构造方式只出现了一次，所以，”$\textcolor{lightgreen}{ \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n} }$” 就是数列 $\{ x_{n} \}$ 最后一项专属的构造方式；

由于 “$1$” 和 “$\frac{1}{2}$” 这种 “$\textcolor{yellow}{ \frac{1}{n} }$” 形式的构造方式出现了两次，所以，”$\textcolor{yellow}{ \frac{1}{n} }$” 就是数列 $\{ x_{n} \}$ 前 $n-1$ 项的构造方式.

于是，如果我们将数列 $\{ x_{n} \}$ 写得更详细一些，就是：

$$
\{ x_{n} \} = \{ 1, \ \frac{1}{2}, \ \cdots, \ \frac{1}{n-2}, \ \textcolor{yellow}{ \frac{1}{n-1} }, \ \textcolor{lightgreen}{ \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n} } \}
$$

综上可知，由于数列 $\{ x_{n+1} \}$ 的构造方式要与数列 $\{ x_{n} \}$ 的构造方式保持一致，所以，数列 $\{ x_{n+1} \}$ 为：

$$
\{ x_{n+1} \} = \{ 1, \ \frac{1}{2}, \ \cdots, \ \frac{1}{n-2}, \ \frac{1}{n-1}, \ \textcolor{yellow}{ \frac{1}{n} }, \ \textcolor{lightgreen}{ \frac{1}{n+1} – \mathrm{e}^{n+1} } \}
$$

Tip

$\{ x_{n+1} \}$ $\textcolor{orangered}{ \neq }$ $\{ 1, \ \frac{1}{2}, \ \cdots, \ \frac{1}{n}, \ \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n}, \ \frac{1}{n+1}, \ \frac{1}{n+1} – \mathrm{e}^{n+1} \}$

$\{ x_{n+1} \}$ $\textcolor{orangered}{ \neq }$ $\{ 1, \ \frac{1}{2}, \ \cdots, \ \frac{1}{n-1} – \mathrm{e}^{n-1}, \ \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n}, \ \frac{1}{n+1} – \mathrm{e}^{n+1} \}$
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§2.2 由级数 $x_{n}$ 写出级数 $x_{n+1}$

根据“一次是特例，两次成规律”可知，在级数 $x_{n}$ $=$ $1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n}$ 中：

由于 “$\textcolor{lightgreen}{ \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n} }$” 这种构造方式只出现了一次，所以，”$\textcolor{lightgreen}{ \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n} }$” 就是级数 $x_{n}$ 最后一项专属的构造方式；

由于 “$1$” 和 “$\frac{1}{2}$” 这种 “$\textcolor{yellow}{ \frac{1}{n} }$” 形式的构造方式出现了两次，所以，”$\textcolor{yellow}{ \frac{1}{n} }$” 就是级数 $x_{n}$ 前 $n-1$ 项的构造方式.

于是，如果我们将级数 $x_{n}$ 写得更详细一些，就是：

$$
x_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n-2} + \left( \textcolor{yellow}{ \frac{1}{n-1} } + \textcolor{lightgreen}{ \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n} } \right)
$$

综上可知，由于级数 $x_{n+1}$ 的构造方式要与级数 $x_{n}$ 的构造方式保持一致，所以，级数 $x_{n+1}$ 为：

$$
x_{n+1} = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n-2} + \frac{1}{n-1} + \left( \textcolor{yellow}{ \frac{1}{n} } + \textcolor{lightgreen}{ \frac{1}{n+1} – \mathrm{e}^{n+1} } \right)
$$

Tip

$x_{n+1}$ $\textcolor{orangered}{ \neq }$ $1 + \frac{1}{2} + \cdots + \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n} \right) + \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} – \mathrm{e}^{n+1} \right)$

$x_{n+1}$ $\textcolor{orangered}{ \neq }$ $1 + \frac{1}{2} + \cdots + \left( \frac{1}{n-1} – \mathrm{e}^{n-1} \right) + \left( \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n} \right) + \left( \frac{1}{n+1} – \mathrm{e}^{n+1} \right)$
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