为什么没有 $0 – 0$ 型未定式？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」会首先给同学们介绍一下常见的未定式、以及这些常见的未定式为什么可能存在极限值，还有为什么不存在 $0 – 0$ 型的未定式.

二、正文

我们知道，在高等数学中，常见的未定式有以下几种：

$$
\frac{0}{0}, \ \frac{\infty}{\infty}, \ 0 \times \infty, \ 1^{\infty}, \ 0^{0}, \ \infty^{0}, \ \infty – \infty
$$

观察可以发现，上面的未定式并不包含 $0 – 0$. 为了理解为什么 $0-0$ 不是一个未定式，我们先来看看为什么上面这些式子是未定式：

1. 由于除法运算可以分离出两个量之间的细微区别，例如 $\frac{0.1}{0.001}=100$, 所以，用除法表示的 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 就可能存在极限，也就是一个未定式；
2. 由于乘法运算可以将一个很小的量快速放大或者缩小，例如 $0.1 \times 1000 = 100$, 所以，用乘法表示的 $0 \times \infty$ 就可能存在极限，也就是一个未定式；
3. 由于指数运算可以极大地增加或者减少一个量的值，例如 $2^{10} = 1024$, $1024^{0.1} = 2$, 所以，$1^{\infty}$, $0^{0}$, $\infty^{0}$ 就可能存在极限，也就是一个未定式；
4. 虽然减法运算不能很快地增加或者减少一个量的值，但是，由于无穷大量很大，有充足的空间容纳一个常量（极限值），所以，用减法表示的 $\infty – \infty$ 就可能存在极限，也就是一个未定式.

综上可知，由于减法运算不能很快地增加或者减少一个量的值，同时，无穷小量都是趋于零的量，几乎没有空间容纳任何常量（即便这个常量很小，但对应的空间是无穷小，即使很小的常量也无法容纳），所以，用减法表示的 $0-0$ 就不可能存在极限，也就不可能是一个未定式.

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