基于几何证明有关 $\arctan$ 的一个三角恒等式

一、前言

在《基于函数证明有关 $\arctan$ 的一个三角恒等式》一文中，荒原之梦考研数学借助函数这一工具，证明了下面的（反）三角函数恒等式：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\arctan \left(\frac{1}{t}\right) = \frac{\pi}{2} – \arctan t, \quad t > 0
}
$$

在本文中，荒原之梦考研数学将借助几何工具，从三角函数$\tan$和反三角函数$\arctan$的定义出发，继续证明上面的恒等式，并扩展到下面这个恒等式：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\arctan \left(\frac{1}{t}\right) = – \frac{\pi}{2} – \arctan t, \quad t < 0
}
$$

二、正文

§2.1 当 $t > 0$ 时

如图 01 所示，我们定义了一个“正直角三角形”，其内角和为 $+ \pi$, 两个锐角的和为 $+ \frac{\pi}{2}$ $=$ $\left( \theta \right) + \left( \frac{\pi}{2} – \theta \right)$, 并且 $\angle \theta > 0$ 对应的直角边长度为 $t > 0$, $\angle \left( \frac{\pi}{2} – \theta \right)$ 对应的直角边长度为 $1$, 则：

$$
\begin{align}
& \tan \theta = t \textcolor{gray}{ > 0 } \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{\leadsto} \ & \theta = \arctan t \textcolor{gray}{ > 0 } \tag{1} \\ \notag \\ \notag \\
& \tan \left( \frac{\pi}{2} – \theta \right) = \frac{1}{t} \textcolor{gray}{ > 0 } \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\pi}{2} – \theta = \arctan \left( \frac{1}{t} \right) \tag{2} \textcolor{gray}{ > 0 }
\end{align}
$$

结合上面的 $(1)$ 式和 $(2)$ 式，可得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\arctan \left( \frac{1}{t} \right) = \frac{\pi}{2} – \arctan t, \quad t > 0
}
$$

§2.2 当 $\hat{t} < 0$ 时

如图 02 所示，我们定义了一个“负直角三角形”，其内角和为 $- \pi$, 两个锐角的和为 $\frac{-\pi}{2}$ $=$ $\left( \hat{\theta} \right) + \left( \frac{-\pi}{2} – \hat{ \theta } \right)$, 并且 $\angle \hat{ \theta } < 0$ 对应的直角边长度为 $\hat{t} < 0$, $\angle \left( \frac{\pi}{2} – \hat{\theta} \right)$ 对应的直角边长度为 $1$, 则：

$$
\begin{align}
& \tan \hat{\theta} = \hat{t} \textcolor{gray}{ < 0 } \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{\leadsto} \ & \hat{\theta} = \arctan \hat{t} \textcolor{gray}{ < 0 } \tag{3} \\ \notag \\ \notag \\
& \tan \left( \frac{-\pi}{2} – \hat{\theta} \right) = \frac{1}{\hat{t}} \textcolor{gray}{ < 0 } \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{-\pi}{2} – \hat{\theta} = \arctan \left( \frac{1}{\hat{t}} \right) \tag{4} \textcolor{gray}{ < 0 }
\end{align}
$$

结合上面的 $(3)$ 式和 $(4)$ 式，可得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\arctan \left( \frac{1}{\hat{t}} \right) = \frac{\pi}{2} – \arctan \hat{t}, \quad \hat{t} < 0
}
$$

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