证明：绝对收敛的级数的正项和负项构成的新级数一定都收敛

一、定理

如果级数 $\sum a_{n}$ 绝对收敛，那么，构成其的正项级数 $\sum a_{n}^{+}$ 和负项级数 $\sum a_{n}^{-}$ 都收敛.

二、证明

首先，对于绝对收敛的级数 $\sum a_{n}$，我们知道，下面的级数也收敛：

$$
\sum |a_{n}|
$$

接着，根据「荒原之梦考研数学」的《怎么把一个级数拆分成正项和负项两部分？》这篇文章，我们知道，若级数 $a_{n}^{+}$ 为级数 $\sum a_{n}$ 的正项部分，级数 $a_{n}^{-}$ 为级数 $\sum a_{n}$ 的负项部分，则：

$$
\begin{aligned}
a_{n} & = a_{n}^{+} – a_{n}^{-} \\ \\
|a_{n}| & = a_{n}^{+} + a_{n}^{-}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{align}
\sum a_{n}^{+} & = \frac{1}{2} \left(\sum |a_{n}| + \sum a_{n} \right) \tag{1} \\ \notag \\
\sum a_{n}^{-} & = \frac{1}{2} \left(\sum |a_{n}| – \sum a_{n} \right) \tag{2}
\end{align}
}
$$

对于上面的 $(1)$ 式和 $(2)$ 式，由于级数 $\sum a_{n}$ 和 $\sum |a_{n}|$ 都收敛，所以正项级数 $\sum a_{n}^{+}$ 和负项级数 $\sum a_{n}^{-}$ 也一定都收敛，因此，定理得证.

---