怎么把一个级数拆分成正项和负项两部分？

一、前言

在研究级数的条件收敛和绝对收敛等问题的时候，我们常常需要对级数的正项和负项分别做考虑. 那么，怎么将一个级数的正项和负项表示出来呢？级数的正项和负项和原来的级数之间又具有什么样的关系呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们做一个详细的讲解.

二、正文

要将一个级数 $\sum a_{n}$ 的正项分离出来，实际上就是逐一判断级数中每一个是否为正数，如果为正数就取出来，否则就取 $0$（取 $0$ 是用于占位，保证取出来的正项级数和原来的级数一样都有 $n$ 项），即令：

$$
\textcolor{lightgreen}{a_{n}^{+} = \max(a_{n}, 0)} \tag{1}
$$

式子 $(1)$ 的含义是：如果 $a_{n} > 0$, 此时 $a_{n}^{+} = a_{n} > 0$，否则 $a_{n}^{+} = 0$, 总之 $\textcolor{lightgreen}{a_{n}^{+} \geqslant 0}$.

要将一个级数 $\sum a_{n}$ 的负项分离出来，实际上就是逐一判断级数中每一个是否为负数，如果为负数就取出来，否则就取 $0$（取 $0$ 是用于占位，保证取出来的负项级数和原来的级数一样都有 $n$ 项），即令：

$$
\textcolor{lightgreen}{a_{n}^{-} = \max(-a_{n}, 0)} \tag{2}
$$

式子 $(2)$ 的含义是：如果 $a_{n} < 0$, 此时 $a_{n}^{-} = -a_{n} > 0$，否则 $a_{n}^{-} = 0$, 总之 $\textcolor{lightgreen}{a_{n}^{-} \geqslant 0}$.

因此，根据上面的定义，对于级数 $\sum a_{n}$ 每一项的 $a_{n}$，我们有：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
a_{n} & = a_{n}^{+} – a_{n}^{-} \\ \\
|a_{n}| & = a_{n}^{+} + a_{n}^{-}
\end{aligned}
}
$$

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