一、前言
要讨论收敛是绝对收敛还是条件收敛，我们首先要明确的是：谁收敛？
在考研数学中，可能具有收敛属性的主要概念为：级数、反常积分、数列和函数.
在本文中，我们将围绕这一问题，做一个清晰的分类探讨.
二、正文
§2.1 级数的收敛
级数的收敛包含绝对收敛和条件收敛，也就是说，一个级数收敛，即可能是绝对收敛，也可能是条件收敛，我们从下面有关级数条件收敛和绝对收敛的定义可以得到这一结论：
设有一任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$，则：
- 条件若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_{n}|$ 发散，而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则称 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛.
- 绝对收敛：若 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_{n}|$ 收敛，则称 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛；
也就是说，级数在加绝对值与不加绝对值的时候，其敛散性可能发生变化，所对应的不同收敛方式，就被分成了绝对收敛和条件收敛两种.
§2.2 反常积分的收敛
反常积分的收敛同样包含绝对收敛和条件收敛。与级数的收敛类似，反常积分的绝对收敛与条件收敛也是通过加绝对值与不加绝对值所对应的敛散性不同定义的.
具体来说，反常积分的绝对收敛和条件收敛还根据积分上下限是否无穷限，以及被积函数是否是无界函数，分为以下两类：
对于无穷限的反常积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x$, 有：
- 绝对收敛：若 $\int_{a}^{+\infty} |f(x)| \mathrm{~d} x$ 收敛，且 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x$ 也收敛，则称 $\int_{a}^{+\infty} |f(x)| \mathrm{~d} x$ 和 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x$ 为绝对收敛；
- 条件收敛：若 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x$ 收敛，而 $\int_{a}^{+\infty} |f(x)| \mathrm{~d} x$ 发散，则称 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x$ 为条件收敛.
对于无界函数的反常积分 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x$, 有：
- 绝对收敛：若 $\int_{a}^{b} |f(x)| \mathrm{~d} x$ 收敛，且 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x$ 也收敛，则称 $\int_{a}^{b} |f(x)| \mathrm{~d} x$ 和 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x$ 为绝对收敛；
- 条件收敛：若 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x$ 收敛，而 $\int_{a}^{b} |f(x)| \mathrm{~d} x$ 发散，则称 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x$ 为条件收敛.
§2.3 数列与函数的收敛
数列收敛、函数收敛，都与级数收敛、反常积分收敛不同，函数和数列的收敛定义中并没有讨论绝对值对其的影响：
所以，无论数列收敛，还是函数收敛，都不存在条件收敛和绝对收敛之分——有关级数与数列的不同，可以查看「荒原之梦考研数学」的《数列和级数的区别与联系》这篇文章.
但是，数列和函数的收敛有另一个更加常用的描述，即：“极限存在”，其中：
数列极限存在（收敛）的充要条件：
$$
\begin{aligned}
& \lim_{n \rightarrow \infty} \{ x_{n} \} = A \\ \\
\Leftrightarrow \ & \lim_{n \rightarrow \infty} \{ x_{2n} \} = \lim_{n \rightarrow \infty} \{ x_{2n-1} \} = A \\ \\
\Leftrightarrow \ & \lim_{n \rightarrow \infty} \{ x_{3n} \} = \lim_{n \rightarrow \infty} \{ x_{3n-1} \} = \lim_{n \rightarrow \infty} \{ x_{3n-2} \} = A
\end{aligned}
$$
函数极限存在（收敛）的充要条件：
$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = A \\ \\
\Leftrightarrow \ & \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x) = A \\ \\ \\
& \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = A \\ \\
\Leftrightarrow \ & \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = A
\end{aligned}
$$
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！