借助向量工具研究数列加减运算之后的敛散性

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助“向量”这一工具，研究不同敛散性的两个数列相加或者相减之后所得数列的敛散性. 通过本文中基于向量对这一问题所进行的研究可以非常直观的看到加减运算对数列敛散性所产生的影响，并且可以根据三角形和平行四边形的几何特性对这些结论进行进一步的凝练总结.

二、正文

§2.1 向量的加法和减法运算

如果我们在平面空间中有两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$:

则根据向量加法的三角形原则，向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 可以表示为：

或者，可以根据向量加法的平行四边形原则，将向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 表示为：

同时，根据向量加法的几何表示，我们还可以推导出向量减法的几何表示. 根据向量减法的三角形原则，向量 $\vec{a} – \vec{b}$ 可以表示为：

如果我们将向量的加法和向量的减法都表示在一个平行四边形内，可以看到，向量加法和向量减法分别对应平行四边形的两条对角线（这一特性我们将在后面的总结中用到）：

§2.2 用向量研究数列敛散的合理性与一些说明

如果将数列看作是离散的函数，那么，当 $n \rightarrow \infty$ 的时候，我们可以用一条近似的“切线”表示数列的增长或者下降趋势，如果我们给这个切线添加上指向数列增长方向的箭头，就得到了一个向量，我们称这一过程为数列到向量的映射.

特别的，对于收敛数列而言，当 $n \rightarrow \infty$ 的时候，对应的向量是水平的.

当然，在将 $n \rightarrow \infty$ 时的数列抽象为向量的时候，如果数列数值的大小不同，或者数值变化程度的快慢不同，都应该对应于不同倾斜角度和长度的向量.

但是，在本文中，我们只做定性的分析，不考虑上面有关定量的内容. 因此，在进行数列到向量的映射时，我们只遵循以下简单的规则：

数值较大的，向量的长度较长；变化速度快的，向量的角度较大.

§2.3 向量视角下收敛数列与收敛数列的加减运算

如图 07 所示，如果我们有绿色的收敛数列和红色的收敛数列：

对应的向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 如图 08 所示：

则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 可以表示为：

可以看到，向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 对应的是一个收敛数列：

而向量 $\vec{a} – \vec{b}$ 可以表示为：

可以看到，向量 $\vec{a} – \vec{b}$ 对应的也是一个收敛数列：

§2.4 向量视角下收敛数列与发散数列的加减运算

如图 13 所示，如果我们有绿色的发散数列和红色的收敛数列：

对应的向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 如图 14 所示：

则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 可以表示为：

可以看到，向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 对应的是一个发散数列：

而向量 $\vec{a} – \vec{b}$ 可以表示为：

可以看到，向量 $\vec{a} – \vec{b}$ 对应的也是一个发散数列：

§2.5 向量视角下发散数列与发散数列的加减运算

§2.5.1 相加发散，相减发散

如图 19 所示，如果我们有绿色的发散数列和红色的发散数列：

对应的向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 如图 20 所示：

则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 可以表示为：

可以看到，向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 对应的是一个发散数列：

而向量 $\vec{a} – \vec{b}$ 可以表示为：

可以看到，向量 $\vec{a} – \vec{b}$ 对应的也是一个发散数列：

§2.5.2 相加收敛，相减发散

如图 25 所示，如果我们有绿色的发散数列和红色的发散数列：

对应的向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 如图 26 所示：

则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 可以表示为：

可以看到，向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 对应的是一个收敛数列：

而向量 $\vec{a} – \vec{b}$ 可以表示为：

可以看到，向量 $\vec{a} – \vec{b}$ 对应的是一个发散数列：

§2.5.3 相加发散，相减收敛

如图 31 所示，如果我们有绿色的发散数列和红色的发散数列：

对应的向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 如图 32 所示：

则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 可以表示为：

可以看到，向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 对应的是一个发散数列：

而向量 $\vec{a} – \vec{b}$ 可以表示为：

可以看到，向量 $\vec{a} – \vec{b}$ 对应的是一个收敛数列：

§2.6 定理

根据前面基于向量的数列相加减后的敛散性分析，我们可以得出如下定理（或结论）：

§2.6.1 数列相加减的三角形定理

我们知道，根据三角形的几何特性，如果三角形的一个边水平，则另外两个边不可能水平；如果三角形的两个边不水平，则另外一个边可能水平，也可能不水平：

因此，数列相加减的三角形定理具体内容可以表述为：

如果是发散数列加上另一个发散数列，就相当于有了三角形的两个倾斜的边，则这两个数列相加或者相减后对应的另一条边可能是倾斜的（发散数列），也可能是水平的（收敛数列）. 但是，如果是一个发散数列和另一个收敛数列相加或者相减，由于收敛数列已经对应三角形的一条水平的边，因此，这两个数列相加或者相减后得到的数列对应的三角形的边就必然不可能是水平的，也就是说，发散数列与收敛数列相加或者相减只可能得到发散数列.

当然，收敛数列与收敛数列无论相加还是相减都一定得到收敛数列，上面的三角形定理并不考虑此种情况.

§2.6.2 数列相加减的平行四边形定理

本文前面提到，向量的加法和减法可以表示在一个平行四边形内，分别对应平行四边形的两条对角线，那么，根据简单的几何特性可知，对于任意一个一般的平行四边形，我们不可能同时使其两条对角线水平：

因此，数列相加减的平行四边形定理具体内容可以表述为：

对于任意两个向量的相加运算，以及相减运算，我们不可能在通过相加运算得到一个收敛数列的前提下，再通过对这两个向量的相减运算也得到一个收敛数列. 类似的，对于任意两个向量的相加运算，以及相减运算，我们不可能在通过相减运算得到一个收敛数列的前提下，再通过对这两个向量的相加运算也得到一个收敛数列.

三、总结

在本文中，我们通过使用向量这一工具，实现了将数列相加或者相减前后所表现出来的敛散性表示为几何特性的目的，可以很好的加深我们对数列有关性质的形象化理解.

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