要使含有三角函数的数列的子列存在极限，则步长需要是三角函数周期的整数倍

一、题目

已知 $a_{n} = \left(1 + \frac{1}{n} \right) \sin \frac{n \pi}{2}$, 请证明数列 ${ a_{n} }$ 没有极限（发散）.

二、解析

若要证明数列 ${a_{n}}$ 没有极限，有两种方法：

方法一：如果证明出数列 ${ a_{n} }$ 或者其子列存在震荡无极限的情况，则数列 ${ a_{n} }$ 没有极限；

方法二：如果证明出数列 ${ a_{n} }$ 存在至少两个子列的极限不相等，则数列 ${ a_{n} }$ 没有极限.

事实上，如果我们将 $a_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \sin \frac{n \pi}{2}$ 对应的函数 $y = \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \sin \left( \frac{x \pi}{2} \right)$ 的函数图像绘制出来，则可以看到，数列 ${ a_{n} }$ 其实就是震荡无极限的数列，如图 01 所示：

观察可知，数列 ${ 1 + \frac{1}{n} }$ 是一个单调的数列，其每项的数值会随着 $n$ 的增加逐渐缓慢地增加；数列 ${ \sin \frac{n \pi}{2} }$ 则是一个会周期性震荡的数列.

所以，我们接下来要做的事就是，选择合适的两个量代入到数列 ${ a_{n} }$ 的 $n$ 中，也就是从数列 ${ a_{n} }$ 中抽取出来两个不同的子列，只要我们能证明这两个子列的极限值不相等，或者存在震荡无极限的子列，那么，就可以证明数列 ${ a_{n} }$ 无极限。

这里存在一个需要特别注意的地方——

由于三角函数 $\sin$ 的周期为 $2 \pi$, 因此，在一个周期由三角函数 $\sin$ 确定的数列中取子列的时候，如果取点的步长（或者说“跨度”）不是其周期的整数倍的话，那么，取得点所组成的子列就会是震荡无极限的.

举例来说，如图 02 所示，当我们的步长为 $\pi$ 且以 $a$ 点为起点的时候，再加上 $\frac{\pi}{2}$ 就会得到点 $d$; 但当我们的步长为 $\pi$ 且以 $c$ 点为起点的时候，再加上 $\frac{\pi}{2}$ 就会得到点 $f$. 由于点 $d$ 的取值为 $-1$, 点 $f$ 的取值为 $1$, 很显然，这样的取值方式得到的数列是没有极限的：

然而，只要我们的步长为 $2 \pi$, 无论我们我们以哪个点为起点，加上 $\frac{\pi}{2}$ 后得到的点取值都是一样的.

下面就通过不同的步长取值，来寻找两组性质不同的子列，并证明数列 ${ a_{n} }$ 无极限：

方法一：子列震荡无极限

若设 $k$ 为正整数，并令步长 $n = 2k$, 则：

$$
\begin{aligned}
\lim_{k \rightarrow \infty} a_{2k} & = \lim_{k \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{2k} \right) \sin \frac{2k \pi}{2} \\
& = \lim_{k \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{2k} \right) \sin k \pi \\
& = 0 \\ \\
\lim_{k \rightarrow \infty} a_{2k+1} & = \lim_{k \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{2k+1} \right) \sin \left( \frac{2k \pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) \\
& = \lim_{k \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{2k+1} \right) \sin \left( k \pi + \frac{\pi}{2} \right) \\
& = -1 \text{ 或 } 1
\end{aligned}
$$

所以，当我们令 $n = 2k$ 和 $n = 2k + 1$ 的时候，得到的两个数列 ${ a_{2k} }$ 和 ${ a_{2k+1} }$ 中三角函数的步长实际上是 $\pi$, 而不是三角函数 $\sin$ 的周期 $2 \pi$ 的整数倍，这样就导致数列 ${ a_{2k+1} }$ 没有极限——当然，这也证明了数列 ${ a_{n} }$ 不存在极限（发散）.

方法二：两个子列极限不相等

若设 $k$ 为正整数，我们也尝试令 $n = 4k$ 则：

$$
\begin{aligned}
\lim_{k \rightarrow \infty} a_{4k} & = \lim_{k \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{4k}\right) \sin \frac{4k\pi}{2} \\
& = \lim_{k \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{4k}\right) \sin 2k \pi \\
& = 0 \\ \\
\lim_{k \rightarrow \infty} a_{4k+1} & = \lim_{k \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{4k+1}\right) \sin \left(\frac{4k\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) \\
& = \lim_{k \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{4k+1}\right)\sin \frac{\pi}{2} \\
& = \lim_{k \rightarrow \infty} 1 + \frac{1}{4k+1} \\
& = 1
\end{aligned}
$$

由于子列 ${ a_{4k} }$ 和 ${ a_{4k+1} }$ 的极限不相等，所以，数列 ${a_{n}}$ 没有极限（发散）.

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