一种展示数列变化并进行计算的图形绘制方法

一、题目

已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_{n} = 2$, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} = 5$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = ?$

二、解析

标准解法

首先，由于

$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_{n} } & = a_{1} – a_{2} + a_{3} – a_{4} + \cdots + a_{2n-1} – a_{2n} + \cdots \\ \\
& = (a_{1} – a_{2}) + (a_{3} – a_{4}) + \cdots + (a_{2n-1} – a_{2n}) + \cdots \\ \\
& \leadsto \textcolor{gray}{ (\text{奇数} – \text{偶数}) + (\text{奇数} – \text{偶数}) + \cdots } \\ \\
& \leadsto \textcolor{gray}{ \begin{cases}
a_{2n-1} \rightarrow \text{奇数} \\
a_{2n} \rightarrow \text{偶数}
\end{cases} } \\ \\
& = \sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n-1} – a_{2n}) \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} – \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} }
\end{aligned}
$$

于是可知：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} } \\ \\
& = \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} – \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_{n} \\ \\
& = 5 – 2 = \textcolor{lightgreen}{ 3 }
\end{aligned}
$$

又因为一个数列 $a_{n}$ 可以拆分成奇数项 $a_{2n-1}$ 和偶数项 $a_{2n}$, 因此：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} } \\ \\
& = \sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n-1} + a_{2n}) \\ \\
& = \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} \\ \\
& = 5 + 3 = \textcolor{lightgreen}{ 8 }
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 D

画图解法

首先分析题目——

题目让我们求解的是数列 ${ a_{n} }$ 第 $1$ 项到第无穷多项的和, 即：

$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}
$$

如果我们用数轴表示数列上的点，用位于数轴上方表示取值为正的数列项，用位于数轴下方表示取值为负的数列项，则可以绘制出来如图 01 所示的示意图用于表示数列 ${ a_{n} }$, 其中，锥形“”表示奇数项，三角形“”表示偶数项：

题目给了两个已知条件，已知条件一为：

$$
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_{n} = 2
$$

将数列 ${ a_{n} }$ 的前几项代入上面的已知条件一，得：

$$
a_{1}, \ -a_{2}, \ a_{3}, \ -a_{4}, \ a_{5}, \ -a_{6}, \ \cdots
$$

也就是说，系数 $(-1)^{n-1}$ 的作用就是保持数列 ${ a_{n} }$ 的奇数项不变，并将偶数项取反。

接下来看题目给的已知条件二：

$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} = 5
$$

由于底数 $2n-1$ 对应的就是数列 ${ a_{n} }$ 的奇数项，而从上面的已知条件一可知，奇数项并没有被改变。

由于奇数项并没有发生变化，所以，我们可以将图 01 中的奇数项符号全部删除，只留下偶数项，如图 02 所示：

接着，依据上面的已知条件一，我们将偶数项的正负翻转，并用三角形“”表示翻转后的偶数项，如图 03 所示：

至此，我们可以知道——

数列 ${ a_{n} }$ 中奇数项之和为：

翻转之后，奇数项和偶数项之和为：

于是可知，翻转之后的偶数项之和为：

进而可知，翻转之前的偶数项之和为：

综上，翻转之前的奇数项和偶数项之和，也就是 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为：

即：

$$
\textcolor{green}{
\boldsymbol{
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = 8
}
}
$$

综上可知，本 题 应 选 D

---