相邻展开式可抵消一般发生在含有递进关系的求和中

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!} = ?
$$

难度评级：

二、解析

$$
\begin{aligned}
& \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{(k+1)!} \\ \\
= \ & \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \left[ \frac{1}{\textcolor{springgreen}{k}!} – \frac{1}{(\textcolor{springgreen}{k+1})!} \right] \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{gray}{ 将上面的式子展开，可看到相邻项能互相抵消} \\ \\
= \ & \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{1}{1} \textcolor{orange}{ – \frac{1}{2!} + \frac{1}{2!} } \textcolor{yellow}{ – \frac{1}{3!} + \frac{1}{3!} } – \cdots – \frac{1}{(n+1)!} \right] \\ \\
= \ & \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ 1 – \textcolor{magenta}{ \frac{1}{(n+1)! } } \right] \\ \\
= \ & 1 – \textcolor{magenta}{ 0 } \\ \\
= \ & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ 1 }}
\end{aligned}
$$

Note

从上面的计算中可以看到，$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \left[ \frac{1}{ \textcolor{blue}{k}!} – \frac{1}{(\textcolor{blue}{k+1})!} \right]$ 中含有明显的递进关系 $\textcolor{blue}{k}$ 和 $\textcolor{blue}{k+1}$, 因此，应该对该求和式子做展开，并观察相邻的项是否能相互抵消^(*)或简单相加^(**)；

此外，若要求解的式子为 $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \left[ \frac{1}{ \textcolor{black}{k}!} – \frac{1}{(\textcolor{black}{k+2})!} \right]$, 则递进关系为 $\textcolor{black}{k}$ 和 $\textcolor{black}{k+2}$, 此时，就应该观察展开式的隔项间是否存在相互抵消或简单相加的关系。

(*) 相互抵消：运算之后等于 $0$;
(**) 简单相加：等差数列相加（公差可能等于零或者不等于零）

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