相邻展开式可抵消一般发生在含有递进关系的求和中

一、题目

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{k}{(k+1)!}=?$$

难度评级：

二、解析

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{k}{(k+1)!}\\ \\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\left[\frac{1}{k!}–\frac{1}{(k+1)!}\right]\\ \\ \Rightarrow & \mathrm{将}\mathrm{上}\mathrm{面}\mathrm{的}\mathrm{式}\mathrm{子}\mathrm{展}\mathrm{开}，\mathrm{可}\mathrm{看}\mathrm{到}\mathrm{相}\mathrm{邻}\mathrm{项}\mathrm{能}\mathrm{互}\mathrm{相}\mathrm{抵}\mathrm{消}\\ \\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{1}{1}–\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}–\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}–\cdots –\frac{1}{(n+1)!}]\\ \\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[1–\frac{1}{(n+1)!}\right]\\ \\ =& 1–0\\ \\ =& \mathbf{1}\end{array}$$

Note

从上面的计算中可以看到，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\left[\frac{1}{k!}–\frac{1}{(k+1)!}\right]$ 中含有明显的递进关系 $k$ 和 $k+1$, 因此，应该对该求和式子做展开，并观察相邻的项是否能相互抵消^(*)或简单相加^(**)；

此外，若要求解的式子为 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\left[\frac{1}{k!}–\frac{1}{(k+2)!}\right]$, 则递进关系为 $k$ 和 $k+2$, 此时，就应该观察展开式的隔项间是否存在相互抵消或简单相加的关系。

(*) 相互抵消：运算之后等于 $0$;
(**) 简单相加：等差数列相加（公差可能等于零或者不等于零）

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