两种方法证明对数的“次方”/“指係”公式

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两种方法证明下面的对数次方公式（也称“对数指係公式”）：

$$
\log_{\alpha^{n}} x^{m} = \frac{m}{n} \log_{\alpha} x
$$

二、正文

方法一

若令：

$$
\left( \textcolor{orange}{\alpha^{n}} \right)^{\textcolor{springgreen}{k}} = \textcolor{tan}{x^{m}} \tag{1}
$$

则：

$$
\textcolor{springgreen}{k} = \log_{\textcolor{orange}{ \alpha^{n} }} \textcolor{tan}{x^{m}} \tag{2}
$$

继续由 $(1)$ 式，可得：

$$
\begin{align}
& \left( \alpha^{n} \right)^{\textcolor{springgreen}{k}} = x^{m} \notag \\ \notag \\
\Rightarrow \ & \alpha^{n \textcolor{springgreen}{k} } = x^{m} \notag \\ \notag \\
\Rightarrow \ & \alpha^{\frac{n \textcolor{springgreen}{k} }{m}} = x \notag \\ \notag \\
\Rightarrow \ & \log_{\alpha} x = \frac{n \textcolor{springgreen}{k} }{m} \notag \\ \notag \\
\Rightarrow \ & \textcolor{springgreen}{k} = \frac{m}{n} \log_{\alpha} x \notag \\ \notag \\
\Rightarrow \ & \textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{ \log_{\alpha^{n}} x^{m} = \frac{m}{n} \log_{\alpha} x } } \tag{3}
\end{align}
$$

由上面的 $(3)$ 式可知，公式得证。

方法二

根据对数的换底公式，我们有：

$$
\begin{align}
\textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{ \log_{ \alpha^{n} } x^{m} }} & = \frac{\ln x^{m}}{ \ln \alpha^{n}} \notag \\ \notag \\
& = \frac{m \ln x}{n \ln \alpha} \notag \\ \notag \\
& = \textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{ \frac{m}{n} \log_{\alpha} x }} \tag{4}
\end{align}
$$

由上面的 $(4)$ 式可知，公式得证。

---