两种方法证明对数的“次方”/“指係”公式

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两种方法证明下面的对数次方公式（也称“对数指係公式”）：

$${\log }_{{\alpha }^n}{x}^m=\frac{m}{n}{\log }_{\alpha }x$$

二、正文

方法一

若令：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\left({\alpha }^n\right)}^k=x^m\end{array}$$

则：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& k={\log }_{{\alpha }^n}{x}^m\end{array}$$

继续由 $(1)$ 式，可得：

$$\begin{array}{rl}& {\left({\alpha }^n\right)}^k=x^m\\ \\ \Rightarrow & {\alpha }^{nk}=x^m\\ \\ \Rightarrow & {\alpha }^{\frac{nk}{m}}=x\\ \\ \Rightarrow & {\log }_{\alpha }x=\frac{nk}{m}\\ \\ \Rightarrow & k=\frac{m}{n}{\log }_{\alpha }x\\ \\ \text{(3)}& \Rightarrow & {\mathbf{log}}_{{\mathit{\alpha }}^{\mathit{n}}}\mathbf{}{\mathit{x}}^{\mathit{m}}\mathbf{=}\frac{\mathit{m}}{\mathit{n}}{\mathbf{log}}_{\mathit{\alpha }}\mathbf{}\mathit{x}\end{array}$$

由上面的 $(3)$ 式可知，公式得证。

方法二

根据对数的换底公式，我们有：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{log}}_{{\mathit{\alpha }}^{\mathit{n}}}\mathbf{}{\mathit{x}}^{\mathit{m}}& =\frac{\ln x^m}{\ln {\alpha }^n}\\ \\ & =\frac{m\ln x}{n\ln \alpha }\\ \\ \text{(4)}& & =\frac{\mathit{m}}{\mathit{n}}{\mathbf{log}}_{\mathit{\alpha }}\mathbf{}\mathit{x}\end{array}$$

由上面的 $(4)$ 式可知，公式得证。

---