为什么样本值减去样本均值后求和等于零？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用传统方法和“峰式”画图的方法证明概率论中下面这个公式：

$$\sum _{i=1}^n({\xi }_i–\overline{\xi })=\sum _{i=1}^n{\xi }_i–n\overline{\xi }=0$$

其中，$\overline{\xi }$ 为样本 $({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\cdots ,{\xi }_n)$ 的均值。

二、正文

传统证明方法

由于 $\overline{\xi }$ 是一个确定的数值，所以，根据求和运算的规则，可得：

$$\sum _{i=1}^n\overline{\xi }=n\overline{\xi }$$

于是：

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n({\xi }_i–\overline{\xi })\\ \\ =& \sum _{i=1}^n{\xi }_i–\sum _{i=1}^n\overline{\xi }\\ \\ =& \sum _{i=1}^n{\xi }_i–n\overline{\xi }\end{array}$$

又根据样本均值的定义可知：

$$\overline{\xi }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\xi }_i$$

于是：

$$\sum _{i=1}^n{\xi }_i=n\overline{\xi }$$

接着：

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n({\xi }_i–\overline{\xi })\\ \\ =& \sum _{i=1}^n{\xi }_i–\sum _{i=1}^n\overline{\xi }\\ \\ =& \sum _{i=1}^n{\xi }_i–n\overline{\xi }\\ \\ =& n\overline{\xi }–n\overline{\xi }\\ \\ =& 0\end{array}$$

从而，下式得证：

$$\mathbf{\sum }_{\mathit{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathit{n}}\mathbf{(}{\mathit{\xi }}_{\mathit{i}}–\overline{\mathit{\xi }}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{\sum }_{\mathit{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathit{n}}{\mathit{\xi }}_{\mathit{i}}–\mathit{n}\overline{\mathit{\xi }}\mathbf{=}\mathbf{0}$$

“峰式”画图证明方法

假如，我们有一个大正方形，可以均分成四块边长为 $16$ 个单位长度的小正方形，分别记为 $a$, $b$, $c$ 和 $d$, 如图 01 所示：

同时，如果我们拿出另一个同样大小的大正方形，不均匀的分为四块矩形，分别记为 $A$, $B$, $C$ 和 $D$, 如图 02 所示：

观察可知，图 01 中的每一块小正方形都可以看作图 02 中四块矩形的一个“均值”，我们可以将这个均值记作 $f$, 即：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f=\frac{1}{4}(a+b+c+d)\end{array}$$

如果我们将图 01 和图 02 中的大正方形叠加起来，就会得到如图 03 所示的图形：

基于图 03 中的图形，我们可以做如下的分割与标注：

于是，我们就可以建立起 $a$, $b$, $c$, $d$ 与 $A$, $B$, $C$, $D$ 之间的等式关系：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \{\begin{array}{l}a–A_1^{-}+A_2^{+}=A\\ b–B_1^{-}–B_2^{-}–B_3^{-}=B\\ c+C_1^{+}+C_2^{+}+C_3^{+}=C\\ d+D_1^{+}–D_2^{-}=D\end{array}\end{array}$$

又由图 04 中的几何关系可知：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \{\begin{array}{l}{A}_1^{-}=C_1^{+}\\ B_1^{-}=D_1^{+}\\ B_2^{-}=A_2^{+}\\ B_3^{-}=C_3^{+}\\ D_2^{-}=C_2^{+}\end{array}\end{array}$$

联立上面的 $(2)$, $(3)$ 两式，可得：

$$a+b+c+d=A+B+C+D$$

再结合 $(1)$ 式，可知：

$$4f=A+B+C+D$$

由于 “$4f$” 相当于 “$n\overline{\xi }$”, “$A$ $+$ $B$ $+$ $C$ $+$ $D$” 相当于 “$\sum _{i=1}^n{\xi }_i$”, 因此，下式得证：

$$\sum _{i=1}^n({\xi }_i–\overline{\xi })=\sum _{i=1}^n{\xi }_i–n\overline{\xi }=0$$

Note

可以看到，“峰式”画线法在这里并没有比传统方法简洁很多，但事实上，“峰式”画线法的优点在于不需要那么多的“先备知识”和“先备规则”。因此，“峰式”画线法是一种外星人都可以看懂的证明方法，可以为我们理解数学概念，提供一个全新的视角。

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