为什么样本值减去样本均值后求和等于零？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用传统方法和“峰式”画图的方法证明概率论中下面这个公式：

$$
\sum_{i=1}^{n} (\xi_{i} – \bar{\xi}) = \sum_{i=1}^{n} \xi_{i} – n \bar{\xi} = 0
$$

其中，$\bar{\xi}$ 为样本 $\left( \xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} \cdots, \xi_{n} \right)$ 的均值。

二、正文

传统证明方法

由于 $\bar{\xi}$ 是一个确定的数值，所以，根据求和运算的规则，可得：

$$
\textcolor{pink}{
\sum_{i=1}^{n} \bar{\xi} = n \bar{\xi}
}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \sum_{i=1}^{n} (\xi_{i} – \bar{\xi}) \\ \\
= & \ \sum_{i=1}^{n} \xi_{i} – \textcolor{pink}{ \sum_{i=1}^{n} \bar{\xi} } \\ \\
= & \ \sum_{i=1}^{n} \xi_{i} – \textcolor{pink}{ n \bar{\xi} }
\end{aligned}
$$

又根据样本均值的定义可知：

$$
\bar{\xi} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \xi_{i}
$$

于是：

$$
\textcolor{yellow}{
\sum_{i=1}^{n} \xi_{i} = n \bar{\xi}
}
$$

接着：

$$
\begin{aligned}
& \sum_{i=1}^{n} (\xi_{i} – \bar{\xi}) \\ \\
= & \ \sum_{i=1}^{n} \xi_{i} – \textcolor{pink}{ \sum_{i=1}^{n} \bar{\xi} } \\ \\
= & \textcolor{yellow}{ \sum_{i=1}^{n} \xi_{i} } – \textcolor{pink}{ n \bar{\xi} } \\ \\
= & \ \textcolor{yellow}{ n \bar{\xi} } – \textcolor{pink}{ n \bar{\xi} } \\ \\
= & \ \textcolor{springgreen}{0}
\end{aligned}
$$

从而，下式得证：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\sum_{i=1}^{n} (\xi_{i} – \bar{\xi}) = \sum_{i=1}^{n} \xi_{i} – n \bar{\xi} = 0
}
}
$$

“峰式”画图证明方法

假如，我们有一个大正方形，可以均分成四块边长为 $16$ 个单位长度的小正方形，分别记为 $a$, $b$, $c$ 和 $d$, 如图 01 所示：

同时，如果我们拿出另一个同样大小的大正方形，不均匀的分为四块矩形，分别记为 $A$, $B$, $C$ 和 $D$, 如图 02 所示：

观察可知，图 01 中的每一块小正方形都可以看作图 02 中四块矩形的一个“均值”，我们可以将这个均值记作 $f$, 即：

$$
\textcolor{pink}{
f = \frac{1}{4} \left( a + b + c + d \right) } \tag{1}
$$

如果我们将图 01 和图 02 中的大正方形叠加起来，就会得到如图 03 所示的图形：

基于图 03 中的图形，我们可以做如下的分割与标注：

于是，我们就可以建立起 $a$, $b$, $c$, $d$ 与 $A$, $B$, $C$, $D$ 之间的等式关系：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{cases}
a – A_{1}^{-} + A_{2}^{+} = A \\
b – B_{1}^{-} – B_{2}^{-} – B_{3}^{-} = B \\
c + C_{1}^{+} + C_{2}^{+} + C_{3}^{+} = C \\
d + D_{1}^{+} – D_{2}^{-} = D
\end{cases} } \tag{2}
$$

又由图 04 中的几何关系可知：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{cases}
A_{1}^{-} = C_{1}^{+} \\
B_{1}^{-} = D_{1}^{+} \\
B_{2}^{-} = A_{2}^{+} \\
B_{3}^{-} = C_{3}^{+} \\
D_{2}^{-} = C_{2}^{+}
\end{cases} } \tag{3}
$$

联立上面的 $(2)$, $(3)$ 两式，可得：

$$
a + b + c + d = A + B + C + D
$$

再结合 $(1)$ 式，可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
4 f = A + B + C + D
}
$$

由于 “$4 f$” 相当于 “$n \bar{\xi}$”, “$A$ $+$ $B$ $+$ $C$ $+$ $D$” 相当于 “$\sum_{i=1}^{n} \xi_{i}$”, 因此，下式得证：

$$
\textcolor{springgreen}{
\sum_{i=1}^{n} (\xi_{i} – \bar{\xi}) = \sum_{i=1}^{n} \xi_{i} – n \bar{\xi} = 0
}
$$

Note

可以看到，“峰式”画线法在这里并没有比传统方法简洁很多，但事实上，“峰式”画线法的优点在于不需要那么多的“先备知识”和“先备规则”。因此，“峰式”画线法是一种外星人都可以看懂的证明方法，可以为我们理解数学概念，提供一个全新的视角。

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