用一般具体的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一般具体的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：

$(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}$

二、正文

约定

在本文中，我们约定：下面这种显示出矩阵元素，但矩阵元素又不是具体数值的矩阵 $A$ 和 $B$ 为“一般具体”的矩阵：

$\begin{aligned} A & = {[\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array}]}_{m \times n} \\ B & = {[\begin{array}{c} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 p} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 p} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n p} \end{array}]}_{n \times p} \end{aligned}$

证明过程

Note

分析可知，根据上面的一般具体矩阵 $A$ 和 $B$ , 直接展开 $A B$ 和 $B^{⊤} A^{⊤}$ 的计算量过大，因此，我们选择借助分块矩阵的运算性质，实现较低计算量下的逐步证明。
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首先，取分块矩阵如下：

$\begin{aligned} α & = [\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{m} \end{array}] \\ β & = [\begin{array}{c} b_{1} & b_{2} & \dots & b_{n} \end{array}] \end{aligned}$

于是：

$\begin{aligned} α β & = {[\begin{array}{c} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & \dots & a_{1} b_{n} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \dots & a_{2} b_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m} b_{1} & a_{m} b_{2} & \dots & a_{m} b_{n} \end{array}]}_{m \times n} \\ \Rightarrow (α β)^{⊤} & = {[\begin{array}{c} a_{1} b_{1} & a_{2} b_{1} & \dots & a_{m} b_{1} \\ a_{1} b_{2} & a_{2} b_{2} & \dots & a_{m} b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{1} b_{n} & a_{2} b_{n} & \dots & a_{m} b_{n} \end{array}]}_{n \times m} \end{aligned}$

又因为：

$\begin{aligned} β^{⊤} & = [\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{array}] \\ α^{⊤} & = [\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{m} \end{array}] \end{aligned}$

所以：

$\begin{aligned} β^{⊤} α^{⊤} & = [\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{array}] [\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{m} \end{array}] \\ = {[\begin{array}{c} b_{1} a_{1} & b_{1} a_{2} & \dots & b_{1} a_{m} \\ b_{2} a_{1} & b_{2} a_{2} & \dots & b_{2} a_{m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{n} a_{1} & b_{n} a_{2} & \dots & b_{n} a_{m} \end{array}]}_{n \times m} \end{aligned}$

综上，有：

$(α β)^{⊤} = β^{⊤} α^{⊤}$

Note

上面的公式实际上就是向量乘积的转置运算公式。
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因此，若 $α_{i}$ 为列向量（ $α_{i} \in R^{m \times 1}$ ），则矩阵 $A$ 可以按列分块，表示为：

$A = [\begin{matrix} α_{1} & α_{2} & \dots & α_{n} \end{matrix}]$

类似地，若 $β_{i}$ 为行向量（ $β_{i} \in R^{1 \times p}$ ），则矩阵 $B$ 可以按行分块，表示为：

$B = [\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix}]$

于是：

$\begin{aligned} A B & = [\begin{array}{c} α_{1} & α_{2} & \dots & α_{n} \end{array}] [\begin{array}{c} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{array}] \\ = α_{1} β_{1} + α_{2} β_{2} + \dots + α_{n} β_{n} \end{aligned}$

进而：

$\begin{aligned} (A B)^{⊤} & = (α_{1} β_{1} + α_{2} β_{2} + \dots + α_{n} β_{n})^{⊤} \\ \Rightarrow (α + β)^{⊤} = α^{⊤} + β^{⊤} \\ \Rightarrow (α_{1} β_{1})^{⊤} + (α_{2} β_{2})^{⊤} + \dots + (α_{n} β_{n})^{⊤} \\ \Rightarrow (α β)^{⊤} = β^{⊤} α^{⊤} \Rightarrow (α_{i} β_{i})^{⊤} = β_{i}^{⊤} α_{i}^{⊤} \\ \Rightarrow β_{1}^{⊤} α_{1}^{⊤} + β_{2}^{⊤} α_{2}^{⊤} + \dots + β_{n}^{⊤} α_{n}^{⊤} \end{aligned}$

又因为：

$\begin{aligned} A^{⊤} & = {[\begin{array}{c} α_{1} & α_{2} & \dots & α_{n} \end{array}]}^{⊤} = [\begin{array}{c} α_{1}^{⊤} \\ α_{2}^{⊤} \\ ⋮ \\ α_{n}^{⊤} \end{array}] \\ B^{⊤} & = {[\begin{array}{c} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{array}]}^{⊤} = [\begin{array}{c} β_{1}^{⊤} & β_{2}^{⊤} & \dots & β_{n}^{⊤} \end{array}] \end{aligned}$

Warning

由于 $α$ 和 $β$ 都是列向量，所以：

$\begin{aligned} A^{⊤} & = {[\begin{array}{c} α_{1} & α_{2} & \dots & α_{n} \end{array}]}^{⊤} \neq {\begin{cases} [\begin{array}{c} α_{1} \\ α_{2} \\ ⋮ \\ α_{n} \end{array}] \\ [\begin{array}{c} α_{1}^{⊤} & α_{2}^{⊤} & \dots & α_{n}^{⊤} \end{array}] \end{cases} \\ B^{⊤} & = {[\begin{array}{c} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{array}]}^{⊤} \neq {\begin{cases} [\begin{array}{c} β_{1} & β_{2} & \dots & β_{n} \end{array}] \\ [\begin{array}{c} β_{1}^{⊤} \\ β_{2}^{⊤} \\ ⋮ \\ β_{n}^{⊤} \end{array}] \end{cases} \end{aligned}$
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于是：

$\begin{aligned} B^{⊤} A^{⊤} & = [\begin{array}{c} β_{1}^{⊤} & β_{2}^{⊤} & \dots & β_{n}^{⊤} \end{array}] [\begin{array}{c} α_{1}^{⊤} \\ α_{2}^{⊤} \\ ⋮ \\ α_{n}^{⊤} \end{array}] \\ = β_{1}^{⊤} α_{1}^{⊤} + β_{2}^{⊤} α_{2}^{⊤} + \dots + β_{n}^{⊤} α_{n}^{⊤} \end{aligned}$

综上可知：

$(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}$

用一般具体的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言

二、正文

约定

证明过程

高等数学

线性代数

特别专题

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