用一般具体的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一般具体的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

二、正文

约定

在本文中，我们约定：下面这种显示出矩阵元素，但矩阵元素又不是具体数值的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 为“一般具体”的矩阵：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}_{m \times n} \\ \\
\boldsymbol{B} & = \begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1p} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{np}
\end{bmatrix}_{n \times p}
\end{aligned}
$$

证明过程

Note

分析可知，根据上面的一般具体矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$, 直接展开 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 和 $\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}$ 的计算量过大，因此，我们选择借助分块矩阵的运算性质，实现较低计算量下的逐步证明。

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首先，取分块矩阵如下：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{\alpha} & =
\begin{bmatrix}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{m}
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{\beta} & =
\begin{bmatrix}
b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta} & =
\begin{bmatrix}
a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & \cdots & a_{1} b_{n} \\
a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \cdots & a_{2} b_{n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m} b_{1} & a_{m} b_{2} & \cdots & a_{m} b_{n}
\end{bmatrix}_{m \times n} \\ \\
\Rightarrow \ \textcolor{springgreen}{ (\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta})^{\top} } & =
\textcolor{springgreen}{ \begin{bmatrix}
a_{1} b_{1} & a_{2} b_{1} & \cdots & a_{m} b_{1} \\
a_{1} b_{2} & a_{2} b_{2} & \cdots & a_{m} b_{2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1} b_{n} & a_{2} b_{n} & \cdots & a_{m} b_{n}
\end{bmatrix}_{n \times m} }
\end{aligned}
$$

又因为：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{\beta}^{\top} & =
\begin{bmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{n}
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{\alpha}^{\top} & =
\begin{bmatrix}
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{m}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{\beta}^{\top} \boldsymbol{\alpha}^{\top} } & =
\begin{bmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{n}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{m}
\end{bmatrix} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \begin{bmatrix}
b_{1} a_{1} & b_{1} a_{2} & \cdots & b_{1} a_{m} \\
b_{2} a_{1} & b_{2} a_{2} & \cdots & b_{2} a_{m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n} a_{1} & b_{n} a_{2} & \cdots & b_{n} a_{m}
\end{bmatrix}_{n \times m} }
\end{aligned}
$$

综上，有：

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta})^{\top} = \boldsymbol{\beta}^{\top} \boldsymbol{\alpha}^{\top}
}
$$

Note

上面的公式实际上就是向量乘积的转置运算公式。

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因此，若 $\boldsymbol{\alpha}_{i}$ 为列向量（$\boldsymbol{\alpha}_{i} \in \mathbb{R}^{m \times 1}$），则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以按列分块，表示为：

$$
\textcolor{orange}{
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
\boldsymbol{\alpha}_{1} & \boldsymbol{\alpha}_{2} & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_{n}
\end{bmatrix}
}
$$

类似地，若 $\boldsymbol{\beta}_{i}$ 为行向量（$\boldsymbol{\beta}_{i} \in \mathbb{R}^{1 \times p}$），则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 可以按行分块，表示为：

$$
\textcolor{orange}{
\boldsymbol{B} =
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\beta}_{1} \\
\boldsymbol{\beta}_{2} \\
\vdots \\
\boldsymbol{\beta}_{n}
\end{bmatrix}
}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{yellow}{ \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} } & = \begin{bmatrix}
\boldsymbol{\alpha}_{1} & \boldsymbol{\alpha}_{2} & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_{n}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\beta}_{1} \\
\boldsymbol{\beta}_{2} \\
\vdots \\
\boldsymbol{\beta}_{n}
\end{bmatrix} \\ \\
& = \textcolor{yellow}{ \boldsymbol{\alpha}_{1} \boldsymbol{\beta}_{1} + \boldsymbol{\alpha}_{2} \boldsymbol{\beta}_{2} + \cdots + \boldsymbol{\alpha}_{n} \boldsymbol{\beta}_{n} }
\end{aligned}
$$

进而：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{ (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} } & = (\boldsymbol{\alpha}_{1} \boldsymbol{\beta}_{1} + \boldsymbol{\alpha}_{2} \boldsymbol{\beta}_{2} + \cdots + \boldsymbol{\alpha}_{n} \boldsymbol{\beta}_{n} )^{\top} \\ \\
& \Rightarrow \textcolor{gray}{ (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta})^{\top} = \boldsymbol{\alpha}^{\top} + \boldsymbol{\beta}^{\top} } \\ \\
& \Rightarrow (\boldsymbol{\alpha}_{1} \boldsymbol{\beta}_{1} )^{\top} + (\boldsymbol{\alpha}_{2} \boldsymbol{\beta}_{2} )^{\top} + \cdots + (\boldsymbol{\alpha}_{n} \boldsymbol{\beta}_{n} )^{\top} \\ \\
& \Rightarrow \textcolor{gray}{ (\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta})^{\top} = \boldsymbol{\beta}^{\top} \boldsymbol{\alpha}^{\top} \Rightarrow (\boldsymbol{\alpha}_{i} \boldsymbol{\beta}_{i})^{\top} = \boldsymbol{\beta}_{i}^{\top} \boldsymbol{\alpha}_{i}^{\top} } \\ \\
& \Rightarrow \textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{\beta}_{1}^{\top} \boldsymbol{\alpha}_{1}^{\top} + \boldsymbol{\beta}_{2}^{\top} \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\top} + \cdots + \boldsymbol{\beta}_{n}^{\top} \boldsymbol{\alpha}_{n}^{\top} }
\end{aligned}
$$

又因为：

$$
\textcolor{orange}{
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}^{\top} & = \begin{bmatrix}
\boldsymbol{\alpha}_{1} & \boldsymbol{\alpha}_{2} & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_{n}
\end{bmatrix}^{\top} = \begin{bmatrix}
\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\top} \\ \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\top} \\
\vdots \\
\boldsymbol{\alpha}_{n}^{\top}
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B}^{\top} & =
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\beta}_{1} \\
\boldsymbol{\beta}_{2} \\
\vdots \\
\boldsymbol{\beta}_{n}
\end{bmatrix}^{\top} =
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\beta}_{1}^{\top} & \boldsymbol{\beta}_{2}^{\top} & \cdots & \boldsymbol{\beta}_{n}^{\top}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
}
$$

Warning

由于 $\boldsymbol{\alpha}$ 和 $\boldsymbol{\beta}$ 都是列向量，所以：

$$
\textcolor{red}{
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}^{\top} & = \begin{bmatrix}
\boldsymbol{\alpha}_{1} & \boldsymbol{\alpha}_{2} & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_{n}
\end{bmatrix}^{\top} \neq \begin{cases}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\alpha}_{1} \\
\boldsymbol{\alpha}_{2} \\
\vdots \\
\boldsymbol{\alpha}_{n}
\end{bmatrix} \\ \\
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\top} & \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\top} & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_{n}^{\top}
\end{bmatrix}
\end{cases} \\ \\
\boldsymbol{B}^{\top} & =
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\beta}_{1} \\
\boldsymbol{\beta}_{2} \\
\vdots \\
\boldsymbol{\beta}_{n}
\end{bmatrix}^{\top} \neq \begin{cases}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\beta}_{1} & \boldsymbol{\beta}_{2} & \cdots & \boldsymbol{\beta}_{n} \end{bmatrix} \\ \\
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\beta}_{1}^{\top} \\
\boldsymbol{\beta}_{2}^{\top} \\
\vdots \\
\boldsymbol{\beta}_{n}^{\top}
\end{bmatrix}
\end{cases}
\end{aligned}
}
$$

zhaokaifeng.com

于是：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} } & = \begin{bmatrix}
\boldsymbol{\beta}_{1}^{\top} & \boldsymbol{\beta}_{2}^{\top} & \cdots & \boldsymbol{\beta}_{n}^{\top}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\top} \\ \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\top} \\
\vdots \\
\boldsymbol{\alpha}_{n}^{\top}
\end{bmatrix} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{\beta}_{1}^{\top} \boldsymbol{\alpha}_{1}^{\top} + \boldsymbol{\beta}_{2}^{\top} \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\top} + \cdots + \boldsymbol{\beta}_{n}^{\top} \boldsymbol{\alpha}_{n}^{\top} } \\ \\
\end{aligned}
$$

综上可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

---