对抽象矩阵/行列式的计算，要尽可能“拖延”代入具体数值的时间

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 是三阶方阵，且满足等式 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{B}$ $-$ $\boldsymbol{A}$ $-$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{E}$, 若 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, 则：

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{B}
\end{vmatrix} = ?
$$

难度评级：

二、解析

首先，由题目已知条件 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{B}$ $-$ $\boldsymbol{A}$ $-$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{E}$ 可得：

$$
\begin{aligned}
& \ \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{B} – \boldsymbol{A} – \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E} \\
\Rightarrow & \ \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{B} – \boldsymbol{B} – \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} \\
\Rightarrow & \ \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\textcolor{orangered}{B}} – \boldsymbol{E} \boldsymbol{\textcolor{orangered}{B}} – \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} \\
\Rightarrow & \ (\boldsymbol{A}^{2} – \boldsymbol{E}) \boldsymbol{\textcolor{orangered}{B}} – \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} \\
\Rightarrow & \ (\boldsymbol{A}^{2} – \boldsymbol{E}) \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} + \boldsymbol{E} \\
\Rightarrow \ & \textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}) (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}) \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}
}
\end{aligned}
$$

接下来，根据上面的计算结果，我们有两种解题方法。

方法一

Note

在该方法中，我们没有对式子 $\textcolor{springgreen}{(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}) (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}) \boldsymbol{B}}$ $\textcolor{springgreen}{=}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{springgreen}{+}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{E}}$ 做进一步的化简，而是直接代入了具体的值，所以，该方法的计算量略大。

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对等式 $\textcolor{springgreen}{(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}) (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}) \boldsymbol{B}}$ $\textcolor{springgreen}{=}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{springgreen}{+}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{E}}$ 两端同时取行列式，得：

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}
\end{vmatrix}
\textcolor{orange}{ \begin{vmatrix}
\boldsymbol{B}
\end{vmatrix} } = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}
\end{vmatrix} \tag{1}
$$

又因为 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, 所以：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}
\end{vmatrix} & = \begin{vmatrix}
2 & 0 & 1 \\
0 & 3 & 0 \\
-2 & 0 & 2
\end{vmatrix} = 18 \\ \\
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}
\end{vmatrix} & = \begin{vmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 0
\end{vmatrix} = 2
\end{aligned}
}
$$

将上面的结果代入 $(1)$ 式，得：

$$
\begin{aligned}
& \ 18 \times 2 \times \textcolor{orange}{\begin{vmatrix}
\boldsymbol{B}
\end{vmatrix}} = 18 \\ \\
\Rightarrow & \ \textcolor{orange}{ \begin{vmatrix}
\boldsymbol{B}
\end{vmatrix} = \frac{1}{2} }
\end{aligned}
$$

方法二

Note

在该方法中，我们对式子 $\textcolor{springgreen}{(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}) (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}) \boldsymbol{B}}$ $\textcolor{springgreen}{=}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{springgreen}{+}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{E}}$ 做了进一步的化简，所以，该方法的计算量略小。

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对等式 $\textcolor{springgreen}{(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}) (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}) \boldsymbol{B}}$ $\textcolor{springgreen}{=}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{springgreen}{+}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{E}}$ 做进一步的化简，得：

$$
(\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}) \textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{B} } = \boldsymbol{E}
$$

在上式的等号两端取行列式，得：

$$
\begin{aligned}
& \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}
\end{vmatrix} \times \textcolor{springgreen}{ \begin{vmatrix}
\boldsymbol{B}
\end{vmatrix} } = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{E}
\end{vmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{springgreen}{ \begin{vmatrix}
\boldsymbol{B}
\end{vmatrix} } = \frac{\begin{vmatrix}
\boldsymbol{E}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}
\end{vmatrix}}
\end{aligned}
$$

又因为 $\textcolor{yellow}{ \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}
\end{vmatrix} }$ $\textcolor{yellow}{=}$ $\textcolor{yellow}{ \begin{vmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 0
\end{vmatrix} }$ $\textcolor{yellow}{ = }$ $\textcolor{yellow}{2}$, 所以：

$$
\textcolor{springgreen}{ \begin{vmatrix}
\boldsymbol{B}
\end{vmatrix} } = \frac{\begin{vmatrix}
\boldsymbol{E}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}
\end{vmatrix}} = \textcolor{springgreen}{\frac{1}{2}}
$$

从上面的两种计算方法可知，在将具体的数值代入到抽象矩阵前，要尽可能的对抽象矩阵所在的式子进行化简操作，这样可以减少计算量。

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