对抽象矩阵/行列式的计算，要尽可能“拖延”代入具体数值的时间

一、题目

已知 $\mathit{A}$, $\mathit{B}$ 是三阶方阵，且满足等式 ${\mathit{A}}^2\mathit{B}$ $-$ $\mathit{A}$ $-$ $\mathit{B}$ $=$ $\mathit{E}$, 若 $\mathit{A}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right]$, 则：

$$\left|\begin{array}{c}\mathit{B}\end{array}\right|=?$$

难度评级：

二、解析

首先，由题目已知条件 ${\mathit{A}}^2\mathit{B}$ $-$ $\mathit{A}$ $-$ $\mathit{B}$ $=$ $\mathit{E}$ 可得：

$$\begin{array}{rl}& {\mathit{A}}^2\mathit{B}–\mathit{A}–\mathit{B}=\mathit{E}\\ \Rightarrow & {\mathit{A}}^2\mathit{B}–\mathit{B}–\mathit{A}=\mathit{E}\\ \Rightarrow & {\mathit{A}}^2\mathit{B}–\mathit{E}\mathit{B}–\mathit{A}=\mathit{E}\\ \Rightarrow & ({\mathit{A}}^2–\mathit{E})\mathit{B}–\mathit{A}=\mathit{E}\\ \Rightarrow & ({\mathit{A}}^2–\mathit{E})\mathit{B}=\mathit{A}+\mathit{E}\\ \Rightarrow & (\mathit{A}+\mathit{E})(\mathit{A}–\mathit{E})\mathit{B}=\mathit{A}+\mathit{E}\end{array}$$

接下来，根据上面的计算结果，我们有两种解题方法。

方法一

Note

在该方法中，我们没有对式子 $(\mathit{A}+\mathit{E})(\mathit{A}–\mathit{E})\mathit{B}$ $=$ $\mathit{A}$ $+$ $\mathit{E}$ 做进一步的化简，而是直接代入了具体的值，所以，该方法的计算量略大。

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对等式 $(\mathit{A}+\mathit{E})(\mathit{A}–\mathit{E})\mathit{B}$ $=$ $\mathit{A}$ $+$ $\mathit{E}$ 两端同时取行列式，得：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \left|\begin{array}{c}\mathit{A}+\mathit{E}\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}\mathit{A}–\mathit{E}\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}\mathit{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\mathit{A}+\mathit{E}\end{array}\right|\end{array}$$

又因为 $\mathit{A}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right]$, 所以：

$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{c}\mathit{A}+\mathit{E}\end{array}\right|& =\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 3& 0\\ -2& 0& 2\end{array}\right|=18\\ \\ \left|\begin{array}{c}\mathit{A}–\mathit{E}\end{array}\right|& =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -2& 0& 0\end{array}\right|=2\end{array}$$

将上面的结果代入 $(1)$ 式，得：

$$\begin{array}{rl}& 18\times 2\times \left|\begin{array}{c}\mathit{B}\end{array}\right|=18\\ \\ \Rightarrow & \left|\begin{array}{c}\mathit{B}\end{array}\right|=\frac{1}{2}\end{array}$$

方法二

Note

在该方法中，我们对式子 $(\mathit{A}+\mathit{E})(\mathit{A}–\mathit{E})\mathit{B}$ $=$ $\mathit{A}$ $+$ $\mathit{E}$ 做了进一步的化简，所以，该方法的计算量略小。

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对等式 $(\mathit{A}+\mathit{E})(\mathit{A}–\mathit{E})\mathit{B}$ $=$ $\mathit{A}$ $+$ $\mathit{E}$ 做进一步的化简，得：

$$(\mathit{A}–\mathit{E})\mathit{B}=\mathit{E}$$

在上式的等号两端取行列式，得：

$$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{c}\mathit{A}–\mathit{E}\end{array}\right|\times \left|\begin{array}{c}\mathit{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\mathit{E}\end{array}\right|\\ \\ \Rightarrow & \left|\begin{array}{c}\mathit{B}\end{array}\right|=\frac{\left|\begin{array}{c}\mathit{E}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}\mathit{A}–\mathit{E}\end{array}\right|}\end{array}$$

又因为 $\left|\begin{array}{c}\mathit{A}–\mathit{E}\end{array}\right|$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -2& 0& 0\end{array}\right|$ $=$ $2$, 所以：

$$\left|\begin{array}{c}\mathit{B}\end{array}\right|=\frac{\left|\begin{array}{c}\mathit{E}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}\mathit{A}–\mathit{E}\end{array}\right|}=\frac{1}{2}$$

从上面的两种计算方法可知，在将具体的数值代入到抽象矩阵前，要尽可能的对抽象矩阵所在的式子进行化简操作，这样可以减少计算量。

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