基于主对角线元素复杂度梯度的矩阵/行列式化简策略

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的另一篇文章《矩阵/行列式 的一个优化策略》中，我们首次提出了在包含多个 $0$ 元素的矩阵/行列式中 的一个优化策略，那么，如果初始的矩阵/行列式中没有 $0$ 元素，或者只有少量的 $0$ 元素该怎么办呢？

在本文中，我们将以矩阵/行列式的主对角线为基准，通过元素复杂度梯度排列的方式，给同学们提供一种适用性更广泛的矩阵/行列式化简的方法。

二、正文

策略

如图 01 所示的是一个 $3 \times 3$ 阶的矩阵，虚线表示主对角线，三个不同大小的矩阵块表示主对角线上的元素，不同的矩形块大小表示对应位置不同元素的复杂程度。同时，主对角线之外的元素尽可能消为 $0$ 元素。

图 01 所示的矩阵就是用本文的方法有可能得到的矩阵的简化模型，同时也包含着本文所述的化简方法本身：

具体来说，由于最简单的元素就是 $0$ 和 $1$, 但是，$0$ 元素本身无法产生实质的运算效果，所以，最简单且有效的元素就是 $1$——

例题 1

题目

已知 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{bmatrix}
3 & 1 & -3 \\
-7 & -2 & 9 \\
-2 & -1 & 4
\end{bmatrix}$, 则 $\lambda \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}$ $=$ $?$

难度评级：

解析

首先写出矩阵 $\lambda \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}$:

$$
\begin{bmatrix}
\lambda – 3 & -1 & 3 \\
7 & \lambda + 2 & -9 \\
2 & 1 & \lambda – 4
\end{bmatrix}
$$

观察可知，矩阵 $\lambda \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}$ 中含有一个值为 $\textcolor{orangered}{1}$ 的元素，位于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第三行第二列：

$$
\begin{bmatrix}
\lambda – 3 & -1 & 3 \\
7 & \lambda + 2 & -9 \\
2 & \textcolor{orangered}{1} & \lambda – 4
\end{bmatrix}
$$

于是，我们先把这个 $\textcolor{orangered}{1}$ 元素移动到第一行第一列的位置：

$$
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix}
\lambda – 3 & -1 & 3 \\
7 & \lambda + 2 & -9 \\
2 & \textcolor{orangered}{1} & \lambda – 4
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ – & \begin{bmatrix}
2 & \textcolor{orangered}{1} & \lambda – 4 \\
7 & \lambda + 2 & -9 \\
\lambda – 3 & -1 & 3
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & 2 & \lambda – 4 \\
\lambda + 2 & 7 & -9 \\
-1 & \lambda – 3 & 3
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

接着利用第一行第一列的 $\textcolor{orangered}{1}$ 元素，对第一列和第一行进行消 $0$ 操作：

$$
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & 2 & \lambda – 4 \\
\lambda + 2 & 7 & -9 \\
-1 & \lambda – 3 & 3
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{gray}{对第一列进行消 \ 0} \\ \\
\Rightarrow \ & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & 2 & \lambda – 4 \\
\textcolor{yellow}{0} & 3 – 2 \lambda & – (\lambda – 1)^{2} \\
\textcolor{yellow}{0} & \lambda – 1 & \lambda – 1
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{gray}{对第一行进行消 \ 0} \\ \\
\Rightarrow \ & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{yellow}{0} & 3 – 2 \lambda & – (\lambda – 1)^{2} \\
\textcolor{yellow}{0} & \lambda – 1 & \lambda – 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

接着可以发现，第二行第二列的元素 “$3 – 2 \lambda$” 复杂度比第三行第三列的元素 “$\lambda – 1$” 高，因此，我们要做一下调整，将复杂度比较低的元素 “$\lambda – 1$” 移动到第二行第二列的位置。

但现在的问题是，上面的矩阵中有两个值为 “$\lambda – 1$” 的元素，该怎么选择将哪一个放到第二行第二列的位置呢？

由于第二行第二列元素的上方已经有一个 $\textcolor{yellow}{0}$ 元素，我们接下来就要尽可能使第二行第二列元素的下方也变成 $\textcolor{yellow}{0}$ 元素，这样才能方便我们之后的消 $0$ 操作，所以，我们将第三行第三列的 “$\textcolor{orangered}{ \lambda – 1 }$” 元素移动到第二行第二列的位置：

$$
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{yellow}{0} & 3 – 2 \lambda & – (\lambda – 1)^{2} \\
\textcolor{yellow}{0} & \lambda – 1 & \textcolor{orangered}{ \lambda – 1 }
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ – & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{yellow}{0} & – (\lambda – 1)^{2} & 3 – 2 \lambda \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{orangered}{ \lambda – 1 } & \lambda – 1
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{yellow}{0} & (\lambda – 1)^{2} & 2 \lambda – 3 \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{orangered}{ \lambda – 1 } & \lambda – 1
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{orangered}{ \lambda – 1 } & \lambda – 1 \\
\textcolor{yellow}{0} & (\lambda – 1)^{2} & 2 \lambda – 3
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

之后，利用第二行第二列的元素 “$\textcolor{orangered}{ \lambda – 1 }$” 对第二行和第二列做消 $0$ 运算：

$$
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{orangered}{ \lambda – 1 } & \lambda – 1 \\
\textcolor{yellow}{0} & (\lambda – 1)^{2} & 2 \lambda – 3
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{orangered}{ \lambda – 1 } & \lambda – 1 \\
\textcolor{yellow}{0} & (\lambda – 1)^{2} & 2 \lambda – 3
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{gray}{对第二列进行消 \ 0} \\ \\
\Rightarrow \ & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{orangered}{ \lambda – 1 } & \lambda – 1 \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} & – (\lambda – 2)^{2}
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{gray}{对第二列进行消 \ 0} \\ \\
\Rightarrow \ & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{orangered}{ \lambda – 1 } & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} & – (\lambda – 2)^{2}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

至此，我们就实现了对矩阵 $\lambda \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}$ 的消 $0$ 化简。

例题 2

题目

已知 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\begin{bmatrix}
3 & 0 & 8 \\
3 & -1 & 6 \\
-2 & 0 & -5
\end{bmatrix}$, 则 $\lambda \boldsymbol{E} – \boldsymbol{B}$ $=$ $?$

难度评级：

解析

首先写出矩阵 $\lambda \boldsymbol{E} – \boldsymbol{B}$:

$$
\begin{bmatrix}
\lambda – 3 & 0 & -8 \\
-3 & \lambda + 1 & -6 \\
2 & 0 & \lambda + 5
\end{bmatrix}
$$

观察可知，矩阵 $\lambda \boldsymbol{E} – \boldsymbol{B}$ 中并没有值为 $1$ 的元素，但是存在值为 $\textcolor{orange}{2}$ 的元素，因此，我们要将其移动到第一行第一列的位置，并转换为 $\textcolor{orangered}{1}$:

$$
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix}
\lambda – 3 & 0 & -8 \\
-3 & \lambda + 1 & -6 \\
\textcolor{orange}{2} & 0 & \lambda + 5
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ – & \begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{2} & 0 & \lambda + 5 \\
-3 & \lambda + 1 & -6 \\
\lambda – 3 & 0 & -8
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ -2 & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & 0 & \frac{\lambda + 5}{2} \\
-3 & \lambda + 1 & -6 \\
\lambda – 3 & 0 & -8
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

接着，开始利用第一行第一列的元素 $\textcolor{orangered}{1}$ 对矩阵的第一列和第一行进行化简：

$$
\begin{aligned}
-2 & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & 0 & \frac{\lambda + 5}{2} \\
-3 & \lambda + 1 & -6 \\
\lambda – 3 & 0 & -8
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{gray}{对第一列进行消 \ 0} \\ \\
\Rightarrow \ -2 & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{yellow}{0} & \frac{\lambda + 5}{2} \\
\textcolor{yellow}{0} & \lambda + 1 & \frac{3 \lambda + 3}{2} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} & \frac{-(\lambda+1)^{2}}{2}
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{gray}{对第一行进行消 \ 0} \\ \\
\Rightarrow \ -2 & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{yellow}{0} & \lambda + 1 & \frac{3 \lambda + 3}{2} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} & \frac{-(\lambda+1)^{2}}{2}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

根据元素的复杂度，当前第二行第二列位置上的元素 “$\textcolor{orangered}{ \lambda + 1 }$” 刚好是第二复杂的元素，所以，可直接开始对第二列和第二行元素的消 $0$ 化简操作：

$$
\begin{aligned}
-2 & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{orangered}{\lambda + 1} & \frac{3 \lambda + 3}{2} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} & \frac{-(\lambda+1)^{2}}{2}
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ -2 & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{orangered}{\lambda + 1} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} & \frac{-(\lambda+1)^{2}}{2}
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow \ & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{orangered}{\lambda + 1} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} & (\lambda+1)^{2}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

至此，我们就实现了对矩阵 $\lambda \boldsymbol{E} – \boldsymbol{B}$ 的消 $0$ 化简。

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