矩阵/行列式消 $0$ 的一个优化策略

一、前言

大部分时候，在对矩阵或者行列式进行运算的时候，我们都倾向于通过初等变换使得矩阵/行列式中产生更多的 $0$ 元素，或者说倾向于将矩阵/行列式中的非 $0$ 元素消为 $0$ 元素（在本文中，我们将这一类操作简称为“消 $0$”）。

那么，在消 $0$ 的时候，有什么注意事项呢？该采取什么样的策略，才能尽可能又快又多地消出来更多的 $0$ 元素呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解。

二、正文

符号的定义

首先，在本文中，我们用方框表示矩阵/行列式中的元素，针对不同颜色的方框所对应的元素类型，我们做如下定义：

此外，在本文中，我们选用 $3\times 3$ 阶的矩阵/行列式作为讨论对象，但本文所阐述的原理和方法在任意 $n\times m$ 阶的矩阵/行列式中都适用。

运算的定义

矩阵/行列式的运算可以分为行变换和列变换两种。

本文中行变换的示意图如图 01 和图 02 所示：

本文中列变换的示意图如图 03 和图 04 所示：

运算的约束

在对矩阵/行列式做消 $0$ 运算的时候，尽可能以 $0$ 元素作为运算的起点或者中间点，因为这样可以减少不可以相互抵消的非 $0$ 元素导致的 $0$ 元素减少的情况发生：

如果以 $0$ 元素作为运算的“终点”，则就更有可能导致原本的 $0$ 元素变成非 $0$ 的元素：

理论案例

根据本文前面的约定，如果用绿色方框表示非 $0$ 元素，用黄色方框表示取值未知的元素（可能是 $0$ 元素，也可能不是 $0$ 元素），则在如图 08 所示的方式中，以两个 $0$ 元素作为运算的“终点”，一个 $0$ 元素作为运算的起点，会导致原本四个可以确定的 $0$ 元素变成两个可以确定的 $0$ 元素和两个可能为 $0$ 的元素：

而在如图 09 所示的方式中，以两个 $0$ 元素作为运算的“起点”，一个 $0$ 元素作为运算的“中点”，会导致原本四个可以确定的 $0$ 元素变成三个可以确定的 $0$ 元素和两个可能为 $0$ 的元素：

Note

观察可知，图 08 和 图 09 中白色箭头左侧的矩阵/行列式其实是一样的，但是采取的消 $0$ 策略不同导致了最终产生的 $0$ 元素的数量变得不同。

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注意

本文所提出的消 $0$ 策略只是一种一般的策略，具体需要怎么进行消 $0$ 运算，还需要根据具体的矩阵/行列式进行分析。例如，在有的时候，为了更好的应用本文所提出的消 $0$ 策略，我们可以令在此之前的一步违反该策略，即“以退为进”。

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实际案例

对于下面的矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 3\\ 1& 2& 0\end{array}\right]$$

如果将原矩阵的第 $1$ 列和第 $2$ 列加到第 $3$ 列上，就会产生以一个 $\text{0}$ 元素为运算的“起点”，两个 $\text{0}$ 元素为运算的“终点”，一个 $\text{0}$ 元素为运算的“中点”的情况。

而运算的结果就是新矩阵的 $0$ 元素相比于原矩阵的 $0$ 元素在个数上减少了两个，并没有达到化简得目的：

$$\left[\begin{array}{ccc}-1& \text{0}& \text{0}\\ \text{0}& 1& 3\\ 1& 2& \text{0}\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}-1& 0& -1\\ 0& 1& 4\\ 1& 2& 1\end{array}\right]$$

如果将原矩阵的第 $1$ 行加到第 $3$ 行上，就会产生以两个 $\text{0}$ 元素为运算的“起点”，一个 $\text{0}$ 元素为运算的“终点”，零个 $\text{0}$ 元素为运算的“中点”的情况，而运算结果就是新矩阵的 $0$ 元素相比于原矩阵的 $0$ 元素在个数上增加了一个，达到了化简的目的：

$$\left[\begin{array}{ccc}-1& \text{0}& \text{0}\\ 0& 1& 3\\ 1& 2& \text{0}\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 3\\ 0& 2& 0\end{array}\right]$$

总结

综上可知，在矩阵/行列式的消 $0$ 过程中，在保证部分计算位置能够将非 $0$ 元素消为 $0$ 元素的前提下，其他的计算位置要尽可能多得以 $0$ 元素作为运算的“起点”或者“中点”；尽可能少得以 $0$ 元素作为运算的“终点”。

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