一、题目
已知
请证明向量组
难度评级:
二、解析
标准解法
假设,有一组数
此时,若向量组
因此,我们接下来要做的就是判断上面的
首先,由题目可得:
于是:
即:
其中,
于是:
又由题可知:
进而可知:
于是,结合
即(其中,
接着,在
由于
接着,在
由于
类似的,通过在
依次类推,可知下面的
因此,向量
峰式解法
可以看到,前面的标准解法相当复杂,如果这只是考试中的一道选择题或者填空题,用上面的标准解法就会花费大量的时间。
因此,接下来,我们使用多次调整约束条件的“峰式解法”求解本题。
What is 峰式解法?
如果要求解的问题是锁在保险箱中的 Flag, 那么,传统的解法就是一步步的尝试正确的解锁密码,然后拿出 Flag. 而峰式解法则不追求直接拿出 Flag, 而是通过一些旁敲侧击的方式,判断出箱子中的 Flag 大致长什么样子——例如,什么材质?多大的重量?等等
zhaokaifeng.com
首先,由题目的已知条件
且:
也就是说,题目要告诉我们的是:
- 有一个初试的向量
; - 初试向量
每左乘一次矩阵 都会得到一个新的向量: , , , ; - 最后一个向量
是一个零向量。
那么,我们可以知道,从非零向量
Tip
根据矩阵乘法的左行右列原则,左乘矩阵
zhaokaifeng.com会导致列向量 的行受影响,也就是存在一个一个改变列向量 中元素的可能,而不存在一次性改变列向量 中所有元素的可能。( , , , )
很明显,上面的变化是连续进行(每一个向量都与其他向量不一样)的,因此,得到的向量一定两两线性无关。
那么,接下来我们要解决的唯一一个问题就是:从向量
答案是不可能。原因在于,我们每次做的操作是一样的,就是左乘矩阵
简单地说,由于从
于是可知,向量组
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