借助函数或数列的思想研究向量的变化过程

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 α1, α2, , αs(其中 sn)是一组 n 维列向量,An 阶矩阵。如果:

Aα1=α2,Aα2=α3,,Aαs1=αs0,Aαs=0

请证明向量组 α1, α2, , αs 线性无关。

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

标准解法

假设,有一组数 x1, x2, , xs, 使得下式成立:

(1)x1α1+x2α2++xsαs=0

此时,若向量组 α1, α2, , αs 线性无关,则必有:

(2)x1=x2==xs=0

因此,我们接下来要做的就是判断上面的 (2) 式是否成立。

首先,由题目可得:

Aα1=α2,Aα2=α3,Aα3=α4,,Aαs1=αs,Aαs=0

于是:

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即:

Ak1α1=αk

其中,k = 2, , s.

于是:

(3)As1α1=αs

又由题可知:

Aαs=0

进而可知:

(4)Ak1αs=0

于是,结合 (3) 式,可对 (4) 式进行如下变形:

 Ak1αs=0 Ak1As1α1=0 As1Ak1α1=0 As1αk=0

即(其中,k = 2, , s):

 As1αk=0 {As1α2=0As1α3=0As1αs=0

接着,在 (1)x1α1 + x2α2 + + xsαs = 0 的等号两边左乘 As1, 得:

 As1(x1α1+x2α2++xsαs)=As10 As1(x1α1+x2α2++xsαs)=0 As1x1α1+As1x2α2++As1xsαs=0 x1As1α1+x2As1α2++xsAs1αs=0 x1As1α1+0++0=0 x1αs+0++0=0 x1αs=0

由于 αi 0, i = 1, 2, , s, 所以:

x1=0

接着,在 x2α2 + + xsαs = 0 的等号两边左乘 As2, 得:

 As2(x2α2++xsαs)=As20 As2(x2α2++xsαs)=0 As2x2α2++As2xsαs=0 x2As2α2++xsAs1αs=0 x2As2α2++0=0 x2As2Aα1++0=0 x2As1α1++0=0 x2αs++0=0 x2αs=0

由于 αi 0, i = 1, 2, , s, 所以:

x2=0

类似的,通过在 x3α3 + + xsαs = 0 的等号两边左乘 As3, 可知 x2=0.

依次类推,可知下面的 (2) 成立:

(2)x1=x2==xs=0

因此,向量 α1, α2, , αs 线性无关得证。

峰式解法

可以看到,前面的标准解法相当复杂,如果这只是考试中的一道选择题或者填空题,用上面的标准解法就会花费大量的时间。

因此,接下来,我们使用多次调整约束条件的“峰式解法”求解本题。

首先,由题目的已知条件 Aαs1 = αs 0 可知:

AOα10, α20, , αs10

且:

Aαs=0

也就是说,题目要告诉我们的是:

  1. 有一个初试的向量 α1;
  2. 初试向量 α1 每左乘一次矩阵 A 都会得到一个新的向量:α2, α3, , αs;
  3. 最后一个向量 Aαs 是一个零向量。

那么,我们可以知道,从非零向量 α1 到零向量 αs, 一定是一个变化的过程。并且,在这个变化过程中,零元素一定在增加,非零元素一定在减少,例如,如果 s=4, α1 = (1111), 则变化的过程可以为:

α1=(1111)α2=(1110)α3=(1100)α4=(1000)Aα4=(0000)

很明显,上面的变化是连续进行(每一个向量都与其他向量不一样)的,因此,得到的向量一定两两线性无关。

那么,接下来我们要解决的唯一一个问题就是:从向量 α1 到向量 αs 的变化,有没有可能不是连续变化的,也就是说,有没有可能存在两个相邻或者不相邻的向量其实是相等(线性相关)的?

答案是不可能。原因在于,我们每次做的操作是一样的,就是左乘矩阵 A, 如果存在前后两个相邻或者不相邻的向量相等,那么就意味着同样的操作导致得到的向量 α2, α3, , αs, Aαs 产生了“返回”,从而产生了两个及以上相同的列向量——如果是这样的话,那么我们就不能保证无论 s 取什么值,一定有 Aαs = 0, 因为 Aαs 可能恰好和另外一个非零向量相等。

简单地说,由于从 α1αsAαs 是一个变化条件(左乘矩阵 A)单一的变化过程,且最终得到的 Aαs 需要是一个零向量,因此,从 α1αsAαs 的变化过程一定是“单调”的——

于是可知,向量组 α1, α2, , αs 线性无关。


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