高斯函数、高斯积分与正态分布之间的关系

一、前言

高斯函数、高斯积分和正态分布之间具有密切的关系，搞明白这些关系，有助于我们对题目和解题方式有更清晰的理解。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们讲明白这些概念之间的关系。

二、正文

Note

[1]. 在本文中，关于自然常数 $\mathrm{e}$ 的幂指函数我们用 $\exp$ 表示，有关于此的详情可以参考这篇文章。

[2]. 在本文中，我们只对考研数学和工科数学中常用的一维高斯函数、一维高斯积分和一维正态分布进行讨论。

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高斯函数（Gaussian Function）

一维高斯函数通常指的是形如下式的函数：

$$
g(x) = \textcolor{orange}{A} \cdot \exp \left[ \frac{- (x \pm \mu)^2}{2\sigma^2}\right] \tag{1}
$$

其中 $A$、$\mu$、$\sigma$ 是常数，分别表示振幅、均值和标准差，且 $A > 0$.

高斯积分（Gaussian Integral）

高斯积分就是对高斯函数的积分。虽然高斯函数属于初等函数，但高斯函数并没有初等不定积分。不过，我们仍然可以得到其在整个实数轴上的广义积分，且积分的结果是一个常数——

一般情况下，我们在考研数学中见到的高斯积分是对标准高斯函数进行的积分，其结果如下：

$$
\begin{aligned}
& \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(- x^2\right) \mathrm{~d} x = \sqrt{\pi} \\ \\
& \int_{0}^{\infty} \exp \left(- x^2\right) \mathrm{~d} x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \\ \\
& \int_{- \infty}^{0} \exp \left(- x^2\right) \mathrm{~d} x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \\ \\
\end{aligned} \tag{2}
$$

对任意高斯函数的积分如下：

$$
\int_{ -\infty}^{\infty} A \cdot \exp \left[ {\frac{- (x \pm \mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} \right] \mathrm{~d} x = A \sigma \cdot \sqrt{2 \pi} \tag{3}
$$

正态分布（Normal Distribution）

在数学中，正态分布的概率密度函数（注意这里说的不是正态分布，正态分布对应的是高斯分布）是高斯函数的一种特殊形式，通常表示为：

$$
n(x) = \textcolor{orange}{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} } \exp \left[ \frac{ – (x \pm \mu)^2}{2\sigma^2} \right] \tag{4}
$$

可以看到，当 $(1)$ 式中的系数 $\textcolor{orange}{A}$ 等于 $\textcolor{orange}{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} }$ 的时候，高斯函数，就是正态分布的概率密度函数。

此外，正态分布的概率密度函数 $n(x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上的积分一定等于 $1$, 而从前面的高斯积分可以看到，高斯函数在 $(- \infty, + \infty)$ 上的积分不一定等于 $1$.

综上可知，高斯函数、正态分布的概率密度函数与对应的积分之间的关系如图 02 所示：

图 01 使用 Octave 绘制，所用的代码为：

% 定义 x 和 y 的取值范围
x = linspace(-2, 2, 100);
y = linspace(-2, 2, 100);
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% 定义函数 e^-(x^2 + y^2)
Z = exp(-(X.^2 + Y.^2));

% 绘制 3D 图像
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on;

% 在 XOZ 平面上投影 e^(-x^2)
plot3(x, zeros(size(x)), exp(-x.^2), 'b', 'LineWidth', 2);

% 在 YOZ 平面上投影 e^(-y^2)
plot3(zeros(size(y)), y, exp(-y.^2), 'r', 'LineWidth', 2);

% 轴标签
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');

% 设置图例
legend('e^{-(x^2 + y^2)}', 'e^{-x^2}', 'e^{-y^2}');

% 设置坐标轴范围
xlim([-2, 2]);
ylim([-2, 2]);
zlim([0, 1]);

% 设置视角
view(45, 30);

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