高斯函数、高斯积分与正态分布之间的关系

一、前言 前言 - 荒原之梦

荒原之梦考研数学 | 高斯函数、高斯积分与正态分布之间的关系 | 图 01.
图 01. 图中描绘了一种二维高斯函数 g(x,y) = e(x2+y2), 以及其在三维坐标系 XOZ 平面上投影所得的一种一维高斯函数 g(x) = ex2 和在三维坐标系 YOZ 平面上投影所得的一种一维高斯函数 g(y) = ey2.

高斯函数、高斯积分和正态分布之间具有密切的关系,搞明白这些关系,有助于我们对题目和解题方式有更清晰的理解。

在本文中,「荒原之梦考研数学」将为同学们讲明白这些概念之间的关系。

二、正文 正文 - 荒原之梦

高斯函数(Gaussian Function)

一维高斯函数通常指的是形如下式的函数:

(1)g(x)=Aexp[(x±μ)22σ2]

其中 Aμσ 是常数,分别表示振幅、均值和标准差,且 A>0.

高斯积分(Gaussian Integral)

高斯积分就是对高斯函数的积分。虽然高斯函数属于初等函数,但高斯函数并没有初等不定积分。不过,我们仍然可以得到其在整个实数轴上的广义积分,且积分的结果是一个常数——

一般情况下,我们在考研数学中见到的高斯积分是对标准高斯函数进行的积分,其结果如下:

(2)exp(x2) dx=π0exp(x2) dx=π20exp(x2) dx=π2

对任意高斯函数的积分如下:

(3)Aexp[(x±μ)22σ2] dx=Aσ2π

正态分布(Normal Distribution)

在数学中,正态分布的概率密度函数(注意这里说的不是正态分布,正态分布对应的是高斯分布)是高斯函数的一种特殊形式,通常表示为:

(4)n(x)=12πσ2exp[(x±μ)22σ2]

可以看到,当 (1) 式中的系数 A 等于 12πσ2 的时候,高斯函数,就是正态分布的概率密度函数。

此外,正态分布的概率密度函数 n(x)(,+) 上的积分一定等于 1, 而从前面的高斯积分可以看到,高斯函数在 (,+) 上的积分不一定等于 1.

综上可知,高斯函数、正态分布的概率密度函数与对应的积分之间的关系如图 02 所示:

荒原之梦考研数学 | 高斯函数、高斯积分与正态分布之间的关系 | 图 02.
图 02.
% 定义 x 和 y 的取值范围
x = linspace(-2, 2, 100);
y = linspace(-2, 2, 100);
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% 定义函数 e^-(x^2 + y^2)
Z = exp(-(X.^2 + Y.^2));

% 绘制 3D 图像
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on;

% 在 XOZ 平面上投影 e^(-x^2)
plot3(x, zeros(size(x)), exp(-x.^2), 'b', 'LineWidth', 2);

% 在 YOZ 平面上投影 e^(-y^2)
plot3(zeros(size(y)), y, exp(-y.^2), 'r', 'LineWidth', 2);

% 轴标签
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');

% 设置图例
legend('e^{-(x^2 + y^2)}', 'e^{-x^2}', 'e^{-y^2}');

% 设置坐标轴范围
xlim([-2, 2]);
ylim([-2, 2]);
zlim([0, 1]);

% 设置视角
view(45, 30);

荒原之梦考研数学思维导图
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