关于积分对函数奇偶性影响的一个扩展公式

一、前言

我们知道，一般情况下，积分会导致函数的奇偶性发生改变。例如，在下面的式子中，一般情况下，如果函数 $f(x)$ 是奇函数，则 $F(x)$ 就是偶函数；如果函数 $f(x)$ 是偶函数，则 $F(x)$ 就是奇函数：

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

但是，如果我们要分析的是下面这个式子，则函数 $f(x)$ 的奇偶性会对函数 $F(x)$ 的奇偶性产生什么样的影响呢？

$$F(x)={\int }_0^{x}g(x)\cdot f(t)\mathrm{d}t$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过详细的计算，给同学们讲明白这个问题。

二、正文

$f(t)$ 为偶函数

若 $f(t)$ 为偶函数，则：

$$f(-t)=f(t)$$

于是：

$$\begin{array}{r}F(-x)\\ \\ & ={\int }_0^{-x}g(-x)\cdot f(t)\mathrm{d}t\\ \\ & \Rightarrow \{\begin{array}{l}t=-k\\ t\in (0,-x)\to k\in (0,\text{x})\end{array}\\ \\ & ={\int }_0^{\text{x}}g(-x)\cdot f(-k)\mathrm{d}(\text{-}k)\\ \\ & =(\text{-}1){\int }_0^{x}g(-x)\cdot f(k)\mathrm{d}(k)\\ \\ & \Rightarrow \{\begin{array}{l}g(x)\text{ 为偶函数}\iff \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& F(-x)\\ & =–{\int }_0^{x}g(-x)\cdot f(k)\mathrm{d}(k)\\ & =–{\int }_0^{x}g(x)\cdot f(k)\mathrm{d}(k)\\ & =-F(x)\\ & \Rightarrow F(x)\text{ 为奇函数}\end{array}\end{array}\\ \\ g(x)\text{ 为奇函数}\iff \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& F(-x)\\ & =–{\int }_0^{x}g(-x)\cdot f(k)\mathrm{d}(k)\\ & ={\int }_0^{x}g(x)\cdot f(k)\mathrm{d}(k)\\ & =F(x)\\ & \Rightarrow F(x)\text{ 为偶函数}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$$

$f(t)$ 为奇函数

若 $f(t)$ 为奇函数，则：

$$f(-t)=-f(t)$$

于是：

$$\begin{array}{r}F(-x)\\ \\ & ={\int }_0^{-x}g(-x)\cdot f(t)\mathrm{d}t\\ \\ & \Rightarrow \{\begin{array}{l}t=-k\\ t\in (0,-x)\to k\in (0,\text{x})\end{array}\\ \\ & ={\int }_0^{\text{x}}g(-x)\cdot f(\text{-}k)\mathrm{d}(\text{-}k)\\ \\ & =(\text{-}1)\cdot (\text{-}1){\int }_0^{x}g(-x)\cdot f(k)\mathrm{d}(k)\\ \\ & ={\int }_0^{x}g(-x)\cdot f(k)\mathrm{d}(k)\\ \\ & \Rightarrow \{\begin{array}{l}g(x)\text{ 为偶函数}\iff \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& F(-x)\\ & ={\int }_0^{x}g(-x)\cdot f(k)\mathrm{d}(k)\\ & ={\int }_0^{x}g(x)\cdot f(k)\mathrm{d}(k)\\ & =F(x)\\ & \Rightarrow F(x)\text{ 为偶函数}\end{array}\end{array}\\ \\ g(x)\text{ 为奇函数}\iff \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& F(-x)\\ & ={\int }_0^{x}g(-x)\cdot f(k)\mathrm{d}(k)\\ & =–{\int }_0^{x}g(x)\cdot f(k)\mathrm{d}(k)\\ & =–F(x)\\ & \Rightarrow F(x)\text{ 为奇函数}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$$

综上，对于 $F(x)$ $=$ ${\int }_0^{x}g(x)\cdot f(t)\mathrm{d}t$, 函数 $f(x)$, $g(x)$ 和 $F(x)$ 之间的奇偶性关系表为：

f(x)	g(x)	F(x)
偶	偶	奇
偶	奇	偶
奇	偶	偶
奇	奇	奇
f(x)	g(x)	g(x)

通过上面的表格可以看出来，只要函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的奇偶性 相 同 ，函数 $F(x)$ 就是 奇 函数；只要函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的奇偶性 不 相 同 ，函数 $F(x)$ 就是 偶 函数

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