关于 $\arctan$ 的一个恒等式及其证明

一、前言

下面这个恒等式是考研数学中和高等数学中一个很重要的恒等式：

$$\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$$

在本文中，荒原之梦考研数学将给同学们证明上面这个式子。

二、正文

要证明下式成立：

$$\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$$

首先要证明下面的函数 $f(x)$ 是一个不增不减的函数，也就是一个导函数值恒等于零的函数：

$$f(x)=\arctan x+\arctan \frac{1}{x}$$

由于，当 $x>0$ 或者 $x<0$ 的时候，有：

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x)\\ \\ & ={(\arctan x+\arctan \frac{1}{x})}^{\prime }\\ \\ & =\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}\cdot \frac{-1}{x^2}\\ \\ & =\frac{1}{1+x^2}+\frac{-1}{x^2}\cdot \frac{x^2}{1+x^2}\\ \\ & =\frac{1}{1+x^2}+\frac{-1}{1+x^2}\\ \\ & =\mathbf{0}\end{array}$$

于是可知，函数 $f(x)$ 确实是一个不增不减的函数，那么，我们只需要在函数 $f(x)$ 的定义域上任选一个点代入到 $f(x)$ 中，就可以计算出 $f(x)$ 的具体值。

由于在函数 $f(x)$ 中，不能有 $x=0$, 所以，我们需要将函数 $f(x)$ 分成 $x>0$ 和 $x<0$ 两段进行考虑——

$\mathbf{\star }$ 为了方便计算，在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 区间上，我们可以令 $x=1$, 则可得：

$$\begin{array}{rl}f(1)& =\arctan 1+\arctan \frac{1}{1}\\ \\ & =\arctan 1+\arctan 1\\ \\ & =\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\\ \\ & =\frac{\mathit{\pi }}{\mathbf{2}}\end{array}$$

$\mathbf{\star }$ 在 $(-\mathrm{\infty }，0)$ 区间上，我们可以令 $x=-1$, 则可得：

$$\begin{array}{rl}f(-1)& =\arctan (-1)+\arctan \frac{1}{-1}\\ \\ & =\arctan (-1)+\arctan (-1)\\ \\ & =\frac{-\pi }{4}+\frac{-\pi }{4}\\ \\ & =\frac{\mathbf{-}\mathit{\pi }}{\mathbf{2}}\end{array}$$

函数 $f(x)$ $=$ $\arctan x$ $+$ $\arctan \frac{1}{x}$ 的图象如图 01 所示：

事实上，恒等式 $\arctan \text{x}$ $+$ $\arctan \frac{1}{\text{x}}$ $=$ $\frac{\pi }{2}$ 中的 $x$ 可以替换成任意的式子，例如：

$$\begin{array}{l}x>0\\ x<0\end{array}\}\Rightarrow \arctan ({\mathrm{e}}^x)+\arctan \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}=\frac{\pi }{2}$$

Note

需要注意的是，由于无论 $x>0$ 还是 $x<0$, 始终都有 ${\mathrm{e}}^x>0$, 所以，上面的式子不存在等于 $\frac{-\pi }{2}$ 或者其他值的可能性。

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拓展资料

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