利用导数的定义求解式子的极限

一、题目

请求解下面式子的极限：

$$\begin{array}{rl}{K}_1& =\underset{x\to a}{lim}\frac{a^x–x^a}{x-a}\\ \\ K_2& =\underset{x\to a}{lim}\frac{x^x–a^a}{x-a}\\ \\ K_3& =\underset{x\to a}{lim}\frac{\tan x–\tan a}{x^a–a^a}\end{array}$$

难度评级：

二、解析

我们知道，函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 这一点处的一阶导为：

$$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)–f(a)}{x–a}$$

并且，上面的式子是一个 $\frac{0}{0}$ 型的结构，这样的结构经常出现在一些求极限的题目中。

因此，如果我们发现一个要求解极限的式子是 $\frac{0}{0}$ 型的结构，且分母部分可以作为分子部分对应的某种函数的自变量或自变量的取值，则可以考虑用一点处导数的定义反推出其原函数，之后再进行极限运算。

$K_1$

$a^x$ 可以看作是函数 $f(x)$ $=$ $a^x$;

$x^a$ 可以看作是函数 $g(x)$ $=$ $x^a$.

式子 $\frac{a^x-x^a}{x-a}$ 在 $x\to a$ 时候的极限，可以拆分成函数 $f(x)$ 和函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 这一点处的导数值，其中：

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(a)& =\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)–f(a)}{x–a}=\underset{x\to a}{lim}\frac{a^x–a^a}{x–a}\\ \\ g^{\prime }(a)& =\underset{x\to a}{lim}\frac{g(x)–g(a)}{x–a}=\underset{x\to a}{lim}\frac{x^a–a^a}{x–a}\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}& K_1\\ \\ =& \underset{x\to a}{lim}\frac{a^x-x^a}{x-a}\\ \\ =& \underset{x\to a}{lim}\frac{a^x-a^a}{x-a}-\underset{x\to a}{lim}\frac{x^a-a^a}{x-a}\\ \\ =& {\left(a^x\right)}^{\prime }{|}_{x=a}-{\left(x^a\right)}^{\prime }{\mid }_{x=a}\\ \\ =& {\left(a^x\ln a\right)}_{x=a}-{\left(a{x}^{a-1}\right)}_{x=a}\\ \\ =& a^a\ln a–a^a\\ \\ =& {\mathit{a}}^{\mathit{a}}(\mathbf{ln}\mathbf{}\mathit{a}\mathbf{-}\mathbf{1})\end{array}$$

$K_2$

若 $m(x)$ $=$ $x^x$, 则：

$$m^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{lim}\frac{m(x)–m(a)}{x–a}=\underset{x\to a}{lim}\frac{x^x–a^a}{x-a}$$

并且：

$$\begin{array}{rl}& m=x^x\\ \\ \iff & \ln m=\ln x^x\\ \\ \iff & \ln m=x\ln x\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}& \ln m=x\ln x\\ \\ \Rightarrow & {(\ln m)}^{\prime }={(x\ln x)}^{\prime }\\ \\ \Rightarrow & \frac{1}{m}\cdot m^{\prime }=\ln x+1\\ \\ \Rightarrow & m^{\prime }=m(\ln x+1)\\ \\ \Rightarrow & m^{\prime }=x^{\prime }(\ln x+1)\end{array}$$

即：

$$\begin{array}{r}{K}_2\\ \\ =& \underset{x\to a}{lim}\frac{x^x–a^a}{x-a}\\ \\ =& {{\left(x^x\right)}^{\prime }|}_{x=a}\\ \\ =& {m^{\prime }|}_{x=a}\\ \\ =& {x^x(\ln x+1)|}_{x=a}\\ \\ =& {\mathit{a}}^{\mathit{a}}\mathbf{(}\mathbf{ln}\mathbf{}\mathit{a}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}\end{array}$$

$K_3$

在前面对 $K_1$ 的计算中，我们用加减运算实现了对原式的拆分，在 $K_3$ 这个式子中，我们要用乘除法实现对原式的拆分——

观察可知，如果我们有函数 $n(x)$ $=$ $\tan x$, 则：

$$n^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{lim}\frac{\tan x–\tan a}{x–a}$$

于是：

$$\begin{array}{r}{K}_3\\ \\ =& \underset{x\to a}{lim}\frac{\tan x–\tan a}{x^a–a^a}\\ \\ =& \underset{x\to a}{lim}\frac{\tan x–\tan a}{x–a}\cdot \frac{x-a}{x^a–a^a}\\ \\ =& \underset{x\to a}{lim}\frac{\tan x–\tan a}{x-a}\cdot {\left(\frac{x^a–a^a}{x–a}\right)}^{-1}\\ \\ =& {\frac{(\tan x{)}^{\prime }}{{\left(x^a\right)}^{\prime }}|}_{x=a}\\ \\ =& {\frac{{\sec }^{2}x}{a{x}^{a-1}}|}_{x=a}\\ \\ =& \frac{\mathbf{1}}{{\mathit{a}}^{\mathit{a}}{\mathbf{cos}}^{\mathbf{2}}\mathbf{}\mathit{a}}\end{array}$$

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