利用导数的定义求解式子的极限

一、题目

请求解下面式子的极限：

$$
\begin{aligned}
K_{1} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ a^{x} – x^{a}}{x-a} \\ \\
K_{2} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ x^{x} – a^{a} }{x-a} \\ \\
K_{3} & = \lim_{x \rightarrow a } \frac{\tan x – \tan a}{ x^{a} – a^{a} }
\end{aligned}
$$

难度评级：

二、解析

我们知道，函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 这一点处的一阶导为：

$$
f ^{\prime} (a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) – f(a)}{x – a}
$$

并且，上面的式子是一个 $\frac{0}{0}$ 型的结构，这样的结构经常出现在一些求极限的题目中。

因此，如果我们发现一个要求解极限的式子是 $\frac{0}{0}$ 型的结构，且分母部分可以作为分子部分对应的某种函数的自变量或自变量的取值，则可以考虑用一点处导数的定义反推出其原函数，之后再进行极限运算。

$K_{1}$

$a^{x}$ 可以看作是函数 $f(x)$ $=$ $a^{x}$;

$x^{a}$ 可以看作是函数 $g(x)$ $=$ $x^{a}$.

式子 $\frac{a^{x}−x^{a}}{x−a}$ 在 $x \rightarrow a$ 时候的极限，可以拆分成函数 $f(x)$ 和函数 $g(x)$ 在 $x = a$ 这一点处的导数值，其中：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{orange}{ f ^{\prime} (a) } & \textcolor{orange}{ = \lim_{x \to a} \frac{f(x) – f(a)}{x – a} = \lim_{x \to a} \frac{a^{x} – a^{a}}{x – a} } \\ \\
\textcolor{springgreen}{ g ^{\prime} (a) } & \textcolor{springgreen}{ = \lim_{x \to a} \frac{g(x) – g(a)}{x – a} = \lim_{x \to a} \frac{x^{a} – a^{a}}{ x – a } }
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& K_{1} \\ \\
= & \ \lim \limits_{x\rightarrow a}\frac{\textcolor{orange}{ a^{x} } − \textcolor{springgreen}{ x^{a} } }{x−a} \\ \\
= & \ \lim \limits_{x\rightarrow a} \frac{\textcolor{orange}{ a^{x}−a^{a} }}{x−a} − \lim \limits_{x\rightarrow a} \frac{\textcolor{springgreen}{ x^{a}−a^{a} }}{x−a} \\ \\
= & \ \left(\textcolor{orange}{ a^{x} }\right) ^{\prime} \left|\right._{x = a} − \left(\textcolor{springgreen}{ x^{a} }\right) ^{\prime} ∣_{x = a} \\ \\
= & \ \left(\textcolor{orange}{ a^{x} \ln a }\right) _{x = a} − \left(\textcolor{springgreen}{ a x^{a-1} }\right)_{x = a} \\ \\
= & \ \textcolor{orange}{ a^{a} \ln a } – \textcolor{springgreen}{ a^{a} } \\ \\
= & \ \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ a^{a}\left(\ln a − 1\right) }}
\end{aligned}
$$

$K_{2}$

若 $m(x)$ $=$ $x^{x}$, 则：

$$
m ^{\prime} (a) = \lim_{x \to a} \frac{m(x) – m(a)}{x – a} = \lim_{x \to a} \frac{x^{x} – a^{a}}{x-a}
$$

并且：

$$
\begin{aligned}
& m = x^{x} \\ \\
\Leftrightarrow & \ \ln m = \ln x^{x} \\ \\
\Leftrightarrow & \ \textcolor{yellow}{ \ln m = x \ln x }
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{yellow}{ \ln m = x \ln x } \\ \\
\Rightarrow & \ \left( \ln m \right) ^{\prime} = \left( x \ln x \right) ^{\prime} \\ \\
\Rightarrow & \ \frac{1}{m} \cdot m ^{\prime} = \ln x + 1 \\ \\
\Rightarrow & \ m ^{\prime} = m \left( \ln x + 1 \right) \\ \\
\Rightarrow & \ \textcolor{pink}{ m ^{\prime} = x ^{\prime} \left( \ln x + 1 \right) }
\end{aligned}
$$

即：

$$
\begin{aligned}
K_{2} \\ \\
= & \ \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ x^{ x } – a^{a} }{ x-a } \\ \\
= & \ \left. \left( x^{x} \right)^{\prime} \right| _{ x = a } \\ \\
= & \ \left. \textcolor{pink}{ m^{\prime} } \right| _{ x = a } \\ \\
= & \ \left. \textcolor{pink}{ x^{x} ( \ln x + 1 ) } \right|_{ x = a } \\ \\
= & \ \textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{ a^{a} ( \ln a + 1 ) }}
\end{aligned}
$$

$K_{3}$

在前面对 $K_{1}$ 的计算中，我们用加减运算实现了对原式的拆分，在 $K_{3}$ 这个式子中，我们要用乘除法实现对原式的拆分——

观察可知，如果我们有函数 $n(x)$ $=$ $\tan x$, 则：

$$
\textcolor{yellow}{ n^{\prime} (a) = \lim_{x \to a} \frac{\tan x – \tan a}{x – a}
}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
K_{3} \\ \\
= & \ \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ \tan x – \tan a }{ x^{a} – a^{a} } \\ \\
= & \ \textcolor{yellow}{ \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ \tan x – \tan a }{ x – a } } \cdot \frac{ x-a }{x^{a} – a^{a} } \\ \\
= & \ \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ \tan x – \tan a }{ x-a } \cdot \left( \frac{ x^{a} – a^{a} }{ x – a } \right)^{-1} \\ \\
= & \ \left. \frac{ (\tan x)^{\prime} }{ \left( x^{a} \right)^{\prime}} \right|_{x = a } \\ \\
= & \left. \frac{ \sec^{2} x }{ a x^{ a-1} } \right| _{ x = a } \\ \\
= & \ \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \frac{1}{ a^{a} \cos^{2} a } }}
\end{aligned}
$$

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