给对数函数的变量“摘指数”的时候要注意指数的“作用范围”

一、题目

已知 $y(x)$ $=$ $x^{x^x}$, 则：

$$y^{\prime }(x)=?$$

难度评级：

二、解析

对于这类底数和指数都含有变量的式子，我们首先要尝试对原式进行两次取对数的运算，之后再进行求导运算。

但是，要注意，下面的计算是 错 误 的：

$$\begin{array}{rl}& y(x)=x^{x^x}\\ \\ \iff & y=x^{x^x}\\ \\ \iff & \ln y=\ln x^{x^x}\\ \\ \iff & \ln y=x\ln x^x\\ \\ \iff & \ln (\ln y)=\ln (x\ln x^x)\\ \\ \iff & \ln (\ln y)=\ln \left(x\right)+\ln (\ln x^x)\\ \end{array}$$

上面的计算之所以是错误的，是因为我们给对数函数 $\ln x^{x^x}$ “摘指数”的计算是错误的，因为对于对数函数 $\ln x^{x^x}$ 中的变量 $x$ 而言，其指数并不是一个 $x$, 而是 $x^x$ 这个整体，所以：

$$\ln x^{x^x}\ne x\ln x^x$$

而是：

$$\ln x^{x^x}=x^x\ln x$$

于是，给原式 $y(x)$ $=$ $x^{x^x}$ 正 确 的取对数的计算过程是：

$$\begin{array}{rl}& y(x)=x^{x^x}\\ \\ \iff & y=x^{x^x}\\ \\ \iff & \ln y=\ln x^{x^x}\\ \\ \iff & \ln y=x^x\ln x\\ \\ \iff & \ln (\ln y)=\ln (x^x\ln x)\\ \\ \iff & \ln (\ln y)=\ln \left(x^x\right)+\ln (\ln x)\\ \\ \iff & \ln (\ln y)=x\ln \left(x\right)+\ln (\ln x)\end{array}$$

之后，在变形得到的式子 $\ln (\ln y)$ $=$ $x\ln \left(x\right)$ $+$ $\ln (\ln x)$ 的两边同时对 $x$ 进行求导：

$$\begin{array}{rl}& \ln (\ln y)=x\ln \left(x\right)+\ln (\ln x)\\ \\ \Rightarrow & \frac{(\ln y{)}^{\prime }}{\ln y}=\ln x+1+\frac{(\ln x{)}^{\prime }}{\ln x}\\ \\ \Rightarrow & \frac{y^{\prime }}{y\ln y}=\ln x+1+\frac{1}{x\ln x}\\ \\ \Rightarrow & y^{\prime }=y\cdot \ln y\cdot (1+\ln x+\frac{1}{x\ln x})\\ \\ \Rightarrow & y=x^{x^x}\\ \\ \Rightarrow & y^{\prime }=x^{x^x}\cdot \ln (x^{x^x})\cdot (1+\ln x+\frac{1}{x\ln x})\\ \\ \Rightarrow & y^{\prime }=x^{x^x}\cdot x^x\ln x\cdot (1+\ln x+\frac{1}{x\ln x})\\ \\ \Rightarrow & y^{\prime }=x^{x^x}\cdot x^{x-1}\cdot x\ln x\cdot (1+\ln x+\frac{1}{x\ln x})\\ \\ \Rightarrow & {\mathit{y}}^{\mathit{\prime }}\mathbf{=}{\mathit{x}}^{{\mathit{x}}^{\mathit{x}}\mathbf{+}\mathit{x}–\mathbf{1}}(\mathit{x}\mathbf{ln}\mathbf{}\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{x}{\mathbf{ln}}^{\mathbf{2}}\mathbf{}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{1})\end{array}$$

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