给对数函数的变量“摘指数”的时候要注意指数的“作用范围”

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 y(x) = xxx, 则:

y(x)=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

对于这类底数和指数都含有变量的式子,我们首先要尝试对原式进行两次取对数的运算,之后再进行求导运算。

但是,要注意,下面的计算是 的:

y(x)=xxx y=xxx lny=lnxxx lny=xlnxx ln(lny)=ln(xlnxx) ln(lny)=ln(x)+ln(lnxx)

上面的计算之所以是错误的,是因为我们给对数函数 lnxxx “摘指数”的计算是错误的,因为对于对数函数 lnxxx 中的变量 x 而言,其指数并不是一个 x, 而是 xx 这个整体,所以:

lnxxxxlnxx

而是:

lnxxx=xxlnx

于是,给原式 y(x) = xxx 的取对数的计算过程是:

y(x)=xxx y=xxx lny=lnxxx lny=xxlnx ln(lny)=ln(xxlnx) ln(lny)=ln(xx)+ln(lnx) ln(lny)=xln(x)+ln(lnx)

之后,在变形得到的式子 ln(lny) = xln(x) + ln(lnx) 的两边同时对 x 进行求导:

ln(lny)=xln(x)+ln(lnx) (lny)lny=lnx+1+(lnx)lnx yylny=lnx+1+1xlnx y=ylny(1+lnx+1xlnx) y=xxx y=xxxln(xxx)(1+lnx+1xlnx) y=xxxxxlnx(1+lnx+1xlnx) y=xxxxx1xlnx(1+lnx+1xlnx) y=xxx+x1(xlnx+xln2x+1)


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress