给对数函数的变量“摘指数”的时候要注意指数的“作用范围”

一、题目

已知 $y(x)$ $=$ $x^{x^{x}}$, 则：

$$
y^{\prime}(x) = ?
$$

难度评级：

二、解析

对于这类底数和指数都含有变量的式子，我们首先要尝试对原式进行两次取对数的运算，之后再进行求导运算。

但是，要注意，下面的计算是 错 误 的：

$$
\begin{aligned}
& y(x) = x^{ x^{x}} \\ \\
\Leftrightarrow & \ y = x^{x^{x}} \\ \\
\Leftrightarrow & \ \ln y = \textcolor{orangered}{ \ln x^{x^{x}} } \\ \\
\Leftrightarrow & \ \ln y = \textcolor{orangered}{ x \ln x^{x} } \\ \\
\Leftrightarrow & \ \ln \left( \ln y \right) = \ln \left( x \ln x^{x} \right) \\ \\
\Leftrightarrow & \ \ln \left( \ln y \right) = \ln \left( x \right) + \ln \left( \ln x^{x} \right) \\ \\
\end{aligned}
$$

上面的计算之所以是错误的，是因为我们给对数函数 $\textcolor{orangered}{ \ln x^{x^{x}} }$ “摘指数”的计算是错误的，因为对于对数函数 $\ln \textcolor{orange}{x}^{ \textcolor{springgreen}{x}^{\textcolor{yellow}{x}}}$ 中的变量 $\textcolor{orange}{x}$ 而言，其指数并不是一个 $\textcolor{yellow}{x}$, 而是 $\textcolor{springgreen}{x}^{\textcolor{yellow}{x}}$ 这个整体，所以：

$$
\textcolor{orangered}{ \ln x^{x^{x}} \neq x \ln x^{x} }
$$

而是：

$$
\textcolor{springgreen}{
\ln x^{x^{x}} = x^{x} \ln x
}
$$

于是，给原式 $y(x)$ $=$ $x^{ x^{x}}$ 正 确 的取对数的计算过程是：

$$
\begin{aligned}
& y(x) = x^{ x^{x}} \\ \\
\Leftrightarrow & \ y = x^{ x^{x}} \\ \\
\Leftrightarrow & \ \textcolor{orangered}{\ln} y = \textcolor{orangered}{\ln} x^{\textcolor{springgreen}{x^{x}}} \\ \\
\Leftrightarrow & \ \ln y = \textcolor{springgreen}{x^{x}} \ln x \\ \\
\Leftrightarrow & \ \textcolor{orange}{\ln} \left( \ln y \right) = \textcolor{orange}{\ln} \left( x^{x} \ln x \right) \\ \\
\Leftrightarrow & \ \ln \left( \ln y \right) = \ln \left( x^{x} \right) + \ln \left( \ln x \right) \\ \\
\Leftrightarrow & \ \textcolor{springgreen}{ \ln \left( \ln y \right) = x \ln \left( x \right) + \ln \left( \ln x \right) }
\end{aligned}
$$

之后，在变形得到的式子 $\textcolor{springgreen}{ \ln \left( \ln y \right)}$ $\textcolor{springgreen}{ = }$ $\textcolor{springgreen}{ x \ln \left( x \right)}$ $\textcolor{springgreen}{+}$ $\textcolor{springgreen}{\ln \left( \ln x \right)}$ 的两边同时对 $x$ 进行求导：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{springgreen}{ \ln \left( \ln y \right) = x \ln \left( x \right) + \ln \left( \ln x \right) } \\ \\
\Rightarrow & \ \frac{\textcolor{pink}{ (\ln y) ^{\prime} }}{\ln y} = \ln x + 1 + \frac{\textcolor{pink}{ (\ln x)^{\prime}} }{\ln x} \\ \\
\Rightarrow & \ \frac { \textcolor{pink}{ y^{\prime}} } { \textcolor{pink}{y} \ln y } = \ln x + 1 + \frac{\textcolor{pink}{1}}{\textcolor{pink}{x} \ln x } \\ \\
\Rightarrow & \ y^{\prime} = \textcolor{tan}{y} \cdot \ln \textcolor{tan}{y} \cdot \left( 1 + \ln x + \frac{1}{x \ln x} \right) \\ \\
\Rightarrow & \ \textcolor{gray}{ y = x^{x^{x}} } \\ \\
\Rightarrow & \ y ^{\prime} = \textcolor{tan}{ x^{x^{x}} } \cdot \ln (\textcolor{tan}{ x^{x^{x}} }) \cdot \left( 1 + \ln x + \frac{1}{x \ln x} \right) \\ \\
\Rightarrow & \ y ^{\prime} = x^{x^{x}} \cdot \textcolor{red}{ {x^{x}} \ln x } \cdot \left( 1 + \ln x + \frac{1}{x \ln x} \right) \\ \\
\Rightarrow & \ y ^{\prime} = x^{x^{x}} \cdot \textcolor{red}{ x^{x-1} \cdot {x} \ln x } \cdot \left( 1 + \ln x + \frac{1}{x \ln x} \right) \\ \\
\Rightarrow & \ \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ y ^{\prime} = x^{ x^{x} + x – 1 } \left( x \ln x + x \ln^{2} x + 1 \right) }}
\end{aligned}
$$

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