乘以自己还和自己相等的矩阵就是在单位矩阵框架内秩互补的矩阵

一、题目

是 $n$ 阶方阵，且满足：

$${\mathit{A}}^2=\mathit{A}$$

请证明：

$$\mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{A}–\mathit{E})=n$$

难度评级：

二、解析

题目让我们由 ${\mathit{A}}^2$ $=$ $\mathit{A}$ 证明 $\mathbf{r}(\mathit{A})$ $+$ $\mathbf{r}(\mathit{A}–\mathit{E})$ $=$ $n$, 其实也就说明，这两个式子之间互为充分必要条件。

由于：

$$\begin{array}{rl}& {\mathit{A}}^2=\mathit{A}\\ \\ \Rightarrow & \mathit{A}(\mathit{A}–\mathit{E})=\mathit{O}\end{array}$$

于是，由「荒原之梦考研数学」的《$\mathit{A}\mathit{B}$ $=$ $\mathit{O}$ $\iff$ $\mathbf{r}(\mathit{A})$ $+$ $\mathbf{r}(\mathit{B})$ $⩽$ $n$》这篇文章可知：

$$\mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{A}–\mathit{E})⩽n$$

接着，由「荒原之梦考研数学」的《关于 $\mathbf{r}(\mathit{A})$ $+$ $\mathbf{r}(\mathit{E}–\mathit{A})$ $⩾$ $\mathbf{r}(\mathit{E})$ 的一个简单证明》这篇文章可知：

$$\begin{array}{rl}& \mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{A}–\mathit{E})\\ \\ =& \mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{E}–\mathit{A})⩾\mathbf{r}(\mathit{E})=n\end{array}$$

综上可知：

$$\begin{array}{rl}& n⩾\mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{E}–\mathit{A})⩾n\\ \\ \iff & \mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{E}–\mathit{A})=n\end{array}$$

分析可知，满足 ${\mathit{A}}^{\mathbf{2}}$ $=$ $\mathit{A}$ 的矩阵的一些特例如下：

$$\begin{array}{rl}\mathit{A}& =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\\ \\ \mathit{A}& =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\\ \\ \mathit{A}& =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$$

结合上面的例子和本文的证明，我们可以将下面这个式子总结为“乘以自己还和自己相等的矩阵就是在单位矩阵框架内秩互补的矩阵”：

$$\begin{array}{rl}& {\mathit{A}}^2=\mathit{A}\\ \iff & \mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{A}–\mathit{E})=n\end{array}$$

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