关于由 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{O}$ 可得 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $n$ 的一个简单证明方式

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们证明下面这个公式：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O} \\
\Leftrightarrow & \ \mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{B}) \leqslant n
\end{aligned}
$$

其中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n \times n$ 阶方阵。

二、正文

为了方便接下来的解释，而且由于对矩阵进行初等变换不会影响矩阵的秩，所以，我们不妨假设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是经过充分化简的矩阵，所有能化简为 $0$ 元素的非 $0$ 元素已经得到了化简，无法为矩阵贡献秩的行或者列已经被化简为了全为 $0$ 元素的行或者列。

此时，如果 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{O}$, 就说明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 中的非 $0$ 元素被“抵消”了，全部变成了 $0$ 元素，也就是说：

• 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行中的非 $0$ 元素能和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列中的 $0$ 元素“抵消”；
• 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行中的非 $0$ 元素能和矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列中的 $0$ 元素“抵消”；

对于上面的情况，我们还需要继续拆分如下两种情况：

情况一：“抵消”可以刚好完成，也就是只存在非 $0$ 元素乘以 $0$ 元素，此时 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $n$;

情况二：“抵消”可以“超额”完成，也就是存在 $0$ 元素乘以了 $0$ 元素，此时 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{B})$ $<$ $n$;

如果我们用 “$*$” 表示非 $0$ 元素，用 “$0$” 表示 $0$ 元素, 则上面的“情况一（刚好抵消）”可以表示为：

上面的“情况二（超额抵消）”可以表示为：

那么，“抵消”有没有可能没完成？

不可能，因为这样就会存在非 $0$ 元素乘以非 $0$ 元素，从而得到非 $0$ 元素，进而导致 $\boldsymbol{AB}$ $\neq$ $\boldsymbol{O}$, 这与我们的已知条件相悖。例如图 06, 07, 08 所示：

Tip

从图 06, 07, 08 还可以看到，当 $\boldsymbol{A B}$ $\neq$ $\boldsymbol{O}$ 的时候，$\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{B})$ 与矩阵的行数（或列数）$n$ 之间可能存在各种大小关系，包括存在 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $n$ 的情况。

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综上可知，下面的式子成立：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\begin{aligned}
& \boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O} \\
\Leftrightarrow & \ \mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{B}) \leqslant n
\end{aligned}
}
}
$$

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