升级版的点火公式

一、题目

$$K_m={\int }_0^{\pi }x{\sin }^{m}x\mathrm{d}x=?$$

其中，$m$ 为自然数。

难度评级：

二、解析

为了解答本题，我们还需要知道什么是“自然数”——自然数的另一个名字是“非负整数”，也就是 $0$, $1$, $2$, $3$, $\cdots$

$$\begin{array}{rl}{K}_m=& {\int }_0^{\pi }x{\sin }^{m}x\mathrm{d}x\\ \\ =& {\int }_0^{\pi }x{\sin }^{m-1}x(\sin x)\mathrm{d}x\\ \\ =& -{\int }_0^{\pi }x{\sin }^{m-1}x\mathrm{d}(\cos x)\\ \\ =& –x{\sin }^{m-1}x(\cos x){|}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }\cos x\mathrm{d}(x{\sin }^{m-1}x)\\ \\ =& 0+{\int }_0^{\pi }\cos x\mathrm{d}(x{\sin }^{m-1}x)\\ \\ =& {\int }_0^{\pi }\cos x\mathrm{d}(x{\sin }^{m-1}x)\\ \\ =& {\int }_0^{\pi }\cos x[{\sin }^{m-1}x+x(m-1){\sin }^{m-2}x(\cos x)]\mathrm{d}x\\ \\ =& {\int }_0^{\pi }\cos x({\sin }^{m-1}x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{\pi }x(m–1){\sin }^{m-2}x({\cos }^{2}x)\mathrm{d}x\\ \\ =& {\int }_0^{\pi }({\sin }^{m-1}x)\mathrm{d}(\sin x)+{\int }_0^{\pi }x(m–1){\sin }^{m-2}x(1–{\sin }^{2}x)\mathrm{d}x\\ \\ =& {\int }_0^{\pi }({\sin }^{m-1}x)\mathrm{d}(\sin x)+(m–1){\int }_0^{\pi }x{\sin }^{m-2}x(1–{\sin }^{2}x)\mathrm{d}x\\ \\ =& \frac{1}{m}{\sin }^{m}x{|}_0^{\pi }+(m-1){\int }_0^{\pi }x{\sin }^{m-2}x\mathrm{d}x–(m-1){\int }_0^{\pi }x{\sin }^{m}x\mathrm{d}x\\ \\ =& {\int }_0^{\pi }({\sin }^{m-1}x)\mathrm{d}(\sin x)+(m–1){\int }_0^{\pi }x{\sin }^{m-2}x(1–{\sin }^{2}x)\mathrm{d}x\\ \\ =& 0+(m-1){\int }_0^{\pi }x{\sin }^{m-2}x\mathrm{d}x–(m-1){\int }_0^{\pi }x{\sin }^{m}x\mathrm{d}x\\ \\ =& (m-1){\int }_0^{\pi }x{\sin }^{m-2}x\mathrm{d}x–(m-1){\int }_0^{\pi }x{\sin }^{m}x\mathrm{d}x\\ \\ =& (m-1)K_{m-2}–(m-1)K_m\end{array}$$

即：

$$K_m=(m-1)K_{m-2}–(m-1)K_m$$

接着：

$$\begin{array}{rl}& K_m=(m-1)K_{m-2}–(m-1)K_m\\ \\ \Rightarrow & K_m+(m-1)K_m=(m-1)K_{m-2}\\ \\ \Rightarrow & m{K}_m=(m-1)K_{m-2}\\ \\ \Rightarrow & K_m=\frac{m-1}{m}{K}_{m-2}\end{array}$$

递推可知：

$$\begin{array}{rl}{K}_{m-2}& =\frac{(m-2)–1}{m-2}{K}_{(m-2)-2}\\ \\ & =\frac{m-3}{m-2}{K}_{m-4}\\ \\ \downarrow \\ \\ K_{m-4}& =\frac{(m-2)–3}{(m-2)–2}{K}_{(m-2)-4}\\ \\ & =\frac{m-5}{m-4}{K}_{m-6}\\ \\ \downarrow \\ \\ K_{m-6}& =\frac{m-7}{m-6}{K}_{m-8}\end{array}$$

观察上面的式子可知，从 $K_{m-2}$ 到 $K_{m-4}$, 以及到 $K_{m-6}$, 每次都是减去 $2$, 又因为偶数减去 $2$ 一定得偶数，奇数减去 $2$ 一定得奇数，而 $0$ 是一个偶数，说明 $K_0$ 的下标 $0$ 只能通过偶数减 $2$ 得到；$1$ 是一个奇数，说明 $K_1$ 的下标只能通过奇数减 $2$ 得到——于是可知，对于 $K_m$ 的表达式，我们应该分成 $m$ 为奇数和 $m$ 为偶数两部分表述。

此外需要注意的是，由于 $m$ 是自然数，也就是非负整数，所以，下标最小的 $K_m$ 是 $K_0$, 之后是 $K_1$, 并不存在 $K_{-1}$ 或者 $K_{-2}$ 等下标为负数的 $K_m$.

于是可知：

$$\begin{array}{rl}{K}_m& =\frac{m-1}{m}{K}_{m-2}\\ \\ & =\{\begin{array}{ll}\frac{m-1}{m}\cdot \frac{m-3}{m-2}\cdot \frac{m-5}{m-4}\cdot \frac{m-7}{m-6}\cdots \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot K_0,& m\text{ 为偶数}\\ \\ \frac{m-1}{m}\cdot \frac{m-3}{m-2}\cdot \frac{m-5}{m-4}\cdot \frac{m-7}{m-6}\cdots \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot K_1,& m\text{ 为奇数}\end{array}\end{array}$$

又因为：

$$\begin{array}{rl}{K}_0& ={\int }_0^{\pi }x\mathrm{d}x\\ \\ & =\frac{1}{2}{x}^2{|}_0^{\pi }\\ \\ & =\frac{{\pi }^2}{2}\\ \\ \\ K_1& ={\int }_0^{\pi }x\sin x\mathrm{d}x\\ \\ & =–{\int }_0^{\pi }x\mathrm{d}(\cos x)\\ \\ & =-x\cos x{|}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }\cos x\mathrm{d}x\\ \\ & =0+(-\sin x){|}_0^{\pi }\\ \\ & =\pi \end{array}$$

综上可知：

$$\begin{array}{rl}{K}_m& ={\int }_0^{\pi }x{\sin }^{m}x\mathrm{d}x\\ \\ & =\{\begin{array}{ll}\frac{m-1}{m}\cdot \frac{m-3}{m-2}\cdot \frac{m-5}{m-4}\cdot \frac{m-7}{m-6}\cdots \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{{\pi }^2}{2},& m\text{ 为偶数}\\ \\ \frac{m-1}{m}\cdot \frac{m-3}{m-2}\cdot \frac{m-5}{m-4}\cdot \frac{m-7}{m-6}\cdots \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot \pi ,& m\text{ 为奇数}\end{array}\end{array}$$

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