拨开云雾，直抵核心：不要被这个积分中的三个 “$\ln$” 函数迷惑了

一、题目

$$I=\int \frac{1}{x\ln x\ln \ln x}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

在这道题目中，我们首先要根据对数函数“只对右侧变量生效”的定理，对原式加括号，以明确每个 “$\ln$” 的作用范围：

$$\begin{array}{rl}I=& \int \frac{1}{x\ln x\ln \ln x}\mathrm{d}x\\ \\ =& \int \frac{1}{(x)\ln x\ln \ln x}\mathrm{d}x\\ \\ =& \int \frac{1}{(x)(\ln x)\ln \ln x}\mathrm{d}x\\ \\ =& \int \frac{1}{(x)(\ln x)(\ln \ln x)}\mathrm{d}x\\ \end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ =& \int \frac{1}{(x)(\ln x)(\ln \ln x)}\mathrm{d}x\\ \\ =& \int \frac{1}{(\ln x)(\ln \ln x)}\mathrm{d}(\ln x)\\ \\ \iff & k_1=\ln x\\ \\ =& \int \frac{1}{(k_1)(\ln k_1)}\mathrm{d}(k_1)\\ \\ =& \int \frac{1}{\ln k_1}\mathrm{d}(\ln k_1)\\ \\ \iff & k_2=\ln k_1\\ \\ =& \int \frac{1}{k_2}\mathrm{d}(k_2)\\ \\ =& \ln k_2+C\\ \\ =& \ln (\ln k_1)+C\\ \\ =& \ln [\ln (\ln x)]+C\\ \\ =& \mathbf{ln}\mathbf{}\mathbf{ln}\mathbf{}\mathbf{ln}\mathbf{}\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{C}\end{array}$$

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