分块矩阵的秩相关公式及实战化解释

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们带来有关分块矩阵的秩的有关结论与多种证明方法。

二、正文

公式一

$$
\begin{aligned}
& \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} \\ \\
= & \ \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} \\
\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}}
\end{pmatrix} \\ \\
= & \ \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}} \\
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}}
\end{pmatrix} \\ \\
= & \ \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}
\end{pmatrix} \\ \\
= & \ \mathbf{r} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}) + \mathbf{r} (\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}})
\end{aligned}
$$

公式一的第 1 种证明方式

首先，矩阵的行秩和列秩相等，因此，对于上面这四个矩阵（其实只有两个真正不同的矩阵），我们在考虑他们的秩的时候，可以只看其行秩（或者列秩）——

对于分块矩阵 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ 所在的行而言，除了 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ 中的元素就只有对秩毫无影响的矩阵 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}}$ 中的 $0$ 元素，因此，对矩阵 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ 所在的行，我们只需要关注 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ 的秩即可。

同理，对于矩阵 $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}$ 所在的行，我们也只需要关注 $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}$ 的秩即可。

于是，此类分块矩阵的秩，就是矩阵 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ 的秩与矩阵 $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}$ 的秩之和。

公式一的第 2 种证明方式

分别对矩阵 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ 和 矩阵 $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}$ 进行初等行变换，分别转换为阶梯型矩阵 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A_{J}}}$ 和 $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B_{J}}}$, 即：

$$
\begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} \stackrel{r}{\rightarrow} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A_{J}}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B_{J}}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}}
\end{pmatrix} \stackrel{r}{ \rightarrow } \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A_{J}}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B_{J}}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}}
\end{pmatrix}
$$

此时，$\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A_{J}}}$ 中存在 $\mathbf{r}_{\textcolor{springgreen}{a}}$ 个非零行，$\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B_{J}}}$ 中存在 $\mathbf{r}_{\textcolor{orangered}{b}}$ 个非零行。

由于矩阵的秩就是非零行的个数，所以：

$$
\mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} = \mathbf{r}_{\textcolor{springgreen}{a}} + \mathbf{r}_{\textcolor{orangered}{b}}
$$

又因为：

$$
\begin{aligned}
\mathbf{r}_{\textcolor{springgreen}{a}} & = \mathbf{r} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}) \\
\mathbf{r}_{\textcolor{orangered}{b}} & = \mathbf{r} (\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}})
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} = \mathbf{r} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}) + \mathbf{r} (\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}})
$$

公式二

$$
\begin{aligned}
(1) & \begin{cases}
& \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{pink}{\boldsymbol{C}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} \geqslant \mathbf{r} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}) + \mathbf{r} (\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}) \\ \\
& \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} \\
\textcolor{pink}{\boldsymbol{C}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} \geqslant \mathbf{r} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}) + \mathbf{r} (\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}})
\end{cases} \\ \\ \\
(2) & \begin{cases}
& \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{pink}{\boldsymbol{C}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} \leqslant \mathbf{r} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}) + \mathbf{r} (\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}) + \mathbf{r}(\textcolor{pink}{\boldsymbol{C}}) \\ \\
& \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} \\
\textcolor{pink}{\boldsymbol{C}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} \leqslant \mathbf{r} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}) + \mathbf{r} (\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}) + \mathbf{r}(\textcolor{pink}{\boldsymbol{C}})
\end{cases}
\end{aligned}
$$

此外，如果矩阵 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ 行满秩（或列满秩）且矩阵 $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}$ 行满秩（或列满秩），则：

$$
\begin{aligned}
& \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{pink}{\boldsymbol{C}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} = \mathbf{r} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}) + \mathbf{r} (\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}) \\ \\
& \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} \\
\textcolor{pink}{\boldsymbol{C}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} = \mathbf{r} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}) + \mathbf{r} (\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}})
\end{aligned}
$$

公式二的第 1 种证明

由于矩阵 $\textcolor{pink}{\boldsymbol{C}}$ 中的元素可能并不都是 $0$ 元素，因此，$\textcolor{pink}{\boldsymbol{C}}$ 可能会在分块矩阵的行或者列上对矩阵 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ 或者矩阵 $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}$ 产生影响，从而影响分块矩阵的行秩或列秩，进而最终影响分块矩阵整体的秩，所以，上面的第 $(1)$ 组式子成立。

但是，矩阵 $\textcolor{pink}{\boldsymbol{C}}$ 对行秩或列秩的影响可能与矩阵 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ 和 $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}$ 重复了，或者说重叠了，因此，最终所产生的秩肯定不会大于矩阵 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$, $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}$ 和 $\textcolor{pink}{\boldsymbol{C}}$ 各自的秩相加所得的值，因此，上面的第 $(2)$ 组式子成立。

但是，为什么这种“影响”会导致分块矩阵整体的秩会有变大的趋势呢？或者说，为什么不会出现下面这种情况呢：

$$
\begin{aligned}
& \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{pink}{\boldsymbol{C}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} \textcolor{magenta}{<} \mathbf{r} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}) + \mathbf{r} (\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}) \\ \\
& \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} \\
\textcolor{pink}{\boldsymbol{C}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} \textcolor{magenta}{<} \mathbf{r} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}) + \mathbf{r} (\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}})
\end{aligned}
$$

为了理解这个问题，我们可以假设矩阵 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ 和 $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}$ 都是经过初等变换被充分化简之后的矩阵（初等变换不影响矩阵的秩），如果此时我们用矩阵 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$, $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}$ 和 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}}$ 组成分块矩阵，则可以组成（$\square$ 表示矩阵的空白区域），则有：

$$
\begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \square \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix}
$$

或者：

$$
\begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} \\
\square & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix}
$$

接着，我们在上面两个分块矩阵的空白位置 $\square$ 中填入一些元素值，但是，我们会发现，无论我们在空白区域 $\square$ 中填入什么数值，都不可能导致分块矩阵整体的秩减少：

① 假如我们填入的元素值是 $0$, 则这个元素值不会导致分块矩阵整体的秩增加，亦不会导致分块矩阵整体的秩减少；
② 假如我们填入的元素值不能在初等行变换中将矩阵 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ 或者矩阵 $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}$ 中的非零元素消去，则该值就有可能导致分块矩阵整体的秩增加（当然，分块矩阵整体的秩也可能不变）；
③ 假如我们填入的元素值可以在初等行变换中将矩阵$\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ 或者矩阵 $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}$ 中的非零元素消去，但是我们不能忘记的是，这个新填入的值是不会把自己消去的，因此，相当于产生了一个零元素的同时，又引入了一个非零元素，这样也不会导致分块矩阵整体的秩减少。

例如，假如我们令：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & = \textcolor{springgreen}{ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} } \\ \\
\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}} & = \textcolor{orangered}{\begin{pmatrix}
0 & \textcolor{white}{\boldsymbol{1}} \\
1 & 0
\end{pmatrix}} \\ \\
\textcolor{pink}{\boldsymbol{C}} & = \textcolor{pink}{ \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & \textcolor{white}{\boldsymbol{-1}}
\end{pmatrix} }
\end{aligned}
$$

则：

$$
\begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{pink}{\boldsymbol{C}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{1} & \textcolor{springgreen}{0} & \textcolor{pink}{0} & \textcolor{pink}{0} \\
\textcolor{springgreen}{0} & \textcolor{springgreen}{0} & \textcolor{pink}{0} & \textcolor{white}{\boldsymbol{-1}} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{orangered}{0} & \textcolor{white}{\boldsymbol{1}} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{0}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{1} & \textcolor{springgreen}{0} & \textcolor{pink}{0} & \textcolor{pink}{0} \\
\textcolor{springgreen}{0} & \textcolor{springgreen}{0} & \textcolor{pink}{0} & \textcolor{white}{\boldsymbol{-1}} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{orangered}{0} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{0}} \\
\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{0}
\end{pmatrix}
$$

在上面的式子中，分块矩阵原本的秩为 $3$, 虽然 $\textcolor{pink}{\boldsymbol{C}}$ 中的 $\textcolor{white}{\boldsymbol{-1}}$ 将 $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}$ 中的 $\textcolor{white}{\boldsymbol{1}}$ 消去了，但是，由于 $\textcolor{white}{\boldsymbol{-1}}$ 本身还存在，所以，经过初等行变换之后的分块矩阵整体的秩仍然等于 $3$.

公式二的第 2 种证明

为了完成证明，我们首先需要知道下面的定理：

$$
\textcolor{yellow}{
\mathbf{\max}( \mathbf{r}(\boldsymbol{A}), \mathbf{r}(\boldsymbol{B}) ) \leq \mathbf{r} (\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} ) \leq \mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{B}) } \tag{a}
$$

在上面的式子中，矩阵 $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} )$ 是由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 横向排列拼接得到的，如果我们将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 纵向（竖向）排列拼接，就可以得到矩阵 $\begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}$, 对于该矩阵，同样有下面的公式：

$$
\textcolor{yellow}{
\mathbf{\max}( \mathbf{r}(\boldsymbol{A}), \mathbf{r}(\boldsymbol{B}) ) \leq \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix} \leq \mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{B}) } \tag{b}
$$

事实上，根据转置运算不会改变矩阵的秩的原理，我们可以通过将 $(a)$ 式转置，直接得到 $(b)$ 式。

对于公式二第 $(1)$ 组式子，在分块矩阵 $\begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{pink}{\boldsymbol{C}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix}$ 中，矩阵 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}$ 存在一个 $\mathbf{r}_{\textcolor{springgreen}{a}}$ 阶的非零子式 $|\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A_{a}}}|$, 矩阵 $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}$ 存在一个 $\mathbf{r}_{\textcolor{orangered}{b}}$ 阶的非零子式 $|\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B_{b}}}|$, 且：

$$
\begin{aligned}
& \mathbf{r} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}) = \mathbf{r}_{\textcolor{springgreen}{a}} \\
& \mathbf{r} (\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}) = \mathbf{r} _{\textcolor{orangered}{b}}
\end{aligned}
$$

由于将子式 $|\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A_{a}}}|$ 和 $|\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B_{b}}}|$ 拿出来可以组成下面这个非零行列式：

$$
\begin{vmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A_{a}}} & \textcolor{pink}{\boldsymbol{C_{c}}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{C}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B_{b}}}
\end{vmatrix} = |\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A_{a}}}| \cdot |\textcolor{pink}{\boldsymbol{C_{c}}}| \neq 0
$$

在上式中，$\textcolor{pink}{\boldsymbol{C_{c}}}$ 是矩阵 $\textcolor{pink}{\boldsymbol{C}}$ 的一个子式。

且：

$$
\mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A_{a}}} & \textcolor{pink}{\boldsymbol{C_{c}}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{C}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B_{b}}}
\end{pmatrix} = \mathbf{r}_{\textcolor{springgreen}{a}} + \mathbf{r} _{\textcolor{orangered}{b}}
$$

根据“母式”的秩肯定不会比其中的“子式”的秩小的定理，我们可得如下结论：

$$
\begin{aligned}
\mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{pink}{\boldsymbol{C}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} & \geqslant \mathbf{r}_{\textcolor{springgreen}{a}} + \mathbf{r} _{\textcolor{orangered}{b}} \\ \\
\mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{pink}{\boldsymbol{C}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} & \geqslant \mathbf{r} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}) + \mathbf{r} (\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}})
\end{aligned}
$$

对于公式二第 $(2)$ 组式子，我们可以先把分块矩阵 $\begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{pink}{\boldsymbol{C}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix}$ 看作是由矩阵 $\begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{pink}{\boldsymbol{C}}
\end{pmatrix}$ 和矩阵 $\begin{pmatrix}
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix}$ 组成的，于是，根据前面的定理，可得：

$$
\mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{pink}{\boldsymbol{C}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} \leqslant \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{pink}{\boldsymbol{C}}
\end{pmatrix} + \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix}
$$

根据同样的定理，我们还有：

$$
\begin{aligned}
& \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{pink}{\boldsymbol{C}}
\end{pmatrix} \leqslant \mathbf{r} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}) + \mathbf{r} (\textcolor{pink}{\boldsymbol{C}}) \\ \\
& \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} \leqslant \mathbf{r} (\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}}) + \mathbf{r} (\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}) \Rightarrow \\
& \mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} \leqslant \mathbf{r} (\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}})
\end{aligned}
$$

于是下式得证：

$$
\mathbf{r} \begin{pmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}} & \textcolor{pink}{\boldsymbol{C}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{O}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}
\end{pmatrix} \leqslant \mathbf{r} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}}) + \mathbf{r} (\textcolor{orangered}{\boldsymbol{B}}) + \mathbf{r} (\textcolor{pink}{\boldsymbol{C}})
$$

---