分块矩阵的秩相关公式及实战化解释

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们带来有关分块矩阵的秩的有关结论与多种证明方法。

二、正文

公式一

$$\begin{array}{rl}& \mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{O}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)\\ \\ =& \mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{O}& \mathit{A}\\ \mathit{B}& \mathit{O}\end{array}\right)\\ \\ =& \mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{O}& \mathit{B}\\ \mathit{A}& \mathit{O}\end{array}\right)\\ \\ =& \mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{B}& \mathit{O}\\ \mathit{O}& \mathit{A}\end{array}\right)\\ \\ =& \mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{B})\end{array}$$

公式一的第 1 种证明方式

首先，矩阵的行秩和列秩相等，因此，对于上面这四个矩阵（其实只有两个真正不同的矩阵），我们在考虑他们的秩的时候，可以只看其行秩（或者列秩）——

对于分块矩阵 $\mathit{A}$ 所在的行而言，除了 $\mathit{A}$ 中的元素就只有对秩毫无影响的矩阵 $\mathit{O}$ 中的 $0$ 元素，因此，对矩阵 $\mathit{A}$ 所在的行，我们只需要关注 $\mathit{A}$ 的秩即可。

同理，对于矩阵 $\mathit{B}$ 所在的行，我们也只需要关注 $\mathit{B}$ 的秩即可。

于是，此类分块矩阵的秩，就是矩阵 $\mathit{A}$ 的秩与矩阵 $\mathit{B}$ 的秩之和。

公式一的第 2 种证明方式

分别对矩阵 $\mathit{A}$ 和 矩阵 $\mathit{B}$ 进行初等行变换，分别转换为阶梯型矩阵 ${\mathit{A}}_{\mathit{J}}$ 和 ${\mathit{B}}_{\mathit{J}}$, 即：

$$\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{O}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)\stackrel{r}{\to }\left(\begin{array}{cc}{\mathit{A}}_{\mathit{J}}& \mathit{O}\\ \mathit{O}& \mathit{O}\\ \mathit{O}& {\mathit{B}}_{\mathit{J}}\\ \mathit{O}& \mathit{O}\end{array}\right)\stackrel{r}{\to }\left(\begin{array}{cc}{\mathit{A}}_{\mathit{J}}& \mathit{O}\\ \mathit{O}& {\mathit{B}}_{\mathit{J}}\\ \mathit{O}& \mathit{O}\\ \mathit{O}& \mathit{O}\end{array}\right)$$

此时，${\mathit{A}}_{\mathit{J}}$ 中存在 ${\mathbf{r}}_a$ 个非零行，${\mathit{B}}_{\mathit{J}}$ 中存在 ${\mathbf{r}}_b$ 个非零行。

由于矩阵的秩就是非零行的个数，所以：

$$\mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{O}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)={\mathbf{r}}_a+{\mathbf{r}}_b$$

又因为：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{r}}_a& =\mathbf{r}(\mathit{A})\\ {\mathbf{r}}_b& =\mathbf{r}(\mathit{B})\end{array}$$

所以：

$$\mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{O}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)=\mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{B})$$

公式二

$$\begin{array}{rl}(1)& \{\begin{array}{ll}& \mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{C}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)⩾\mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{B})\\ \\ & \mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{O}\\ \mathit{C}& \mathit{B}\end{array}\right)⩾\mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{B})\end{array}\\ \\ \\ (2)& \{\begin{array}{ll}& \mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{C}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)⩽\mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{B})+\mathbf{r}(\mathit{C})\\ \\ & \mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{O}\\ \mathit{C}& \mathit{B}\end{array}\right)⩽\mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{B})+\mathbf{r}(\mathit{C})\end{array}\end{array}$$

此外，如果矩阵 $\mathit{A}$ 行满秩（或列满秩）且矩阵 $\mathit{B}$ 行满秩（或列满秩），则：

$$\begin{array}{rl}& \mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{C}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)=\mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{B})\\ \\ & \mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{O}\\ \mathit{C}& \mathit{B}\end{array}\right)=\mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{B})\end{array}$$

公式二的第 1 种证明

由于矩阵 $\mathit{C}$ 中的元素可能并不都是 $0$ 元素，因此，$\mathit{C}$ 可能会在分块矩阵的行或者列上对矩阵 $\mathit{A}$ 或者矩阵 $\mathit{B}$ 产生影响，从而影响分块矩阵的行秩或列秩，进而最终影响分块矩阵整体的秩，所以，上面的第 $(1)$ 组式子成立。

但是，矩阵 $\mathit{C}$ 对行秩或列秩的影响可能与矩阵 $\mathit{A}$ 和 $\mathit{B}$ 重复了，或者说重叠了，因此，最终所产生的秩肯定不会大于矩阵 $\mathit{A}$, $\mathit{B}$ 和 $\mathit{C}$ 各自的秩相加所得的值，因此，上面的第 $(2)$ 组式子成立。

但是，为什么这种“影响”会导致分块矩阵整体的秩会有变大的趋势呢？或者说，为什么不会出现下面这种情况呢：

$$\begin{array}{rl}& \mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{C}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)<\mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{B})\\ \\ & \mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{O}\\ \mathit{C}& \mathit{B}\end{array}\right)<\mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{B})\end{array}$$

为了理解这个问题，我们可以假设矩阵 $\mathit{A}$ 和 $\mathit{B}$ 都是经过初等变换被充分化简之后的矩阵（初等变换不影响矩阵的秩），如果此时我们用矩阵 $\mathit{A}$, $\mathit{B}$ 和 $\mathit{O}$ 组成分块矩阵，则可以组成（$◻$ 表示矩阵的空白区域），则有：

$$\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& ◻\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)$$

或者：

$$\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{O}\\ ◻& \mathit{B}\end{array}\right)$$

接着，我们在上面两个分块矩阵的空白位置 $◻$ 中填入一些元素值，但是，我们会发现，无论我们在空白区域 $◻$ 中填入什么数值，都不可能导致分块矩阵整体的秩减少：

① 假如我们填入的元素值是 $0$, 则这个元素值不会导致分块矩阵整体的秩增加，亦不会导致分块矩阵整体的秩减少；
② 假如我们填入的元素值不能在初等行变换中将矩阵 $\mathit{A}$ 或者矩阵 $\mathit{B}$ 中的非零元素消去，则该值就有可能导致分块矩阵整体的秩增加（当然，分块矩阵整体的秩也可能不变）；
③ 假如我们填入的元素值可以在初等行变换中将矩阵$\mathit{A}$ 或者矩阵 $\mathit{B}$ 中的非零元素消去，但是我们不能忘记的是，这个新填入的值是不会把自己消去的，因此，相当于产生了一个零元素的同时，又引入了一个非零元素，这样也不会导致分块矩阵整体的秩减少。

例如，假如我们令：

$$\begin{array}{rl}\mathit{A}& =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\\ \\ \mathit{B}& =\left(\begin{array}{cc}0& \mathbf{1}\\ 1& 0\end{array}\right)\\ \\ \mathit{C}& =\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& \mathbf{-}\mathbf{1}\end{array}\right)\end{array}$$

则：

$$\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{C}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mathbf{-}\mathbf{1}\\ 0& 0& 0& \mathbf{1}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mathbf{-}\mathbf{1}\\ 0& 0& 0& \mathbf{0}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$$

在上面的式子中，分块矩阵原本的秩为 $3$, 虽然 $\mathit{C}$ 中的 $\mathbf{-}\mathbf{1}$ 将 $\mathit{B}$ 中的 $\mathbf{1}$ 消去了，但是，由于 $\mathbf{-}\mathbf{1}$ 本身还存在，所以，经过初等行变换之后的分块矩阵整体的秩仍然等于 $3$.

公式二的第 2 种证明

为了完成证明，我们首先需要知道下面的定理：

$$\begin{array}{}\text{(a)}& max(\mathbf{r}(\mathit{A}),\mathbf{r}(\mathit{B}))\le \mathbf{r}(\mathit{A},\mathit{B})\le \mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{B})\end{array}$$

在上面的式子中，矩阵 $(\mathit{A},\mathit{B})$ 是由矩阵 $\mathit{A}$ 和矩阵 $\mathit{B}$ 横向排列拼接得到的，如果我们将矩阵 $\mathit{A}$ 和矩阵 $\mathit{B}$ 纵向（竖向）排列拼接，就可以得到矩阵 $\left(\begin{array}{c}\mathit{A}\\ \mathit{B}\end{array}\right)$, 对于该矩阵，同样有下面的公式：

$$\begin{array}{}\text{(b)}& max(\mathbf{r}(\mathit{A}),\mathbf{r}(\mathit{B}))\le \mathbf{r}\left(\begin{array}{c}\mathit{A}\\ \mathit{B}\end{array}\right)\le \mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{B})\end{array}$$

事实上，根据转置运算不会改变矩阵的秩的原理，我们可以通过将 $(a)$ 式转置，直接得到 $(b)$ 式。

对于公式二第 $(1)$ 组式子，在分块矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{C}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)$ 中，矩阵 $\mathit{A}$ 存在一个 ${\mathbf{r}}_a$ 阶的非零子式 $|{\mathit{A}}_{\mathit{a}}|$, 矩阵 $\mathit{B}$ 存在一个 ${\mathbf{r}}_b$ 阶的非零子式 $|{\mathit{B}}_{\mathit{b}}|$, 且：

$$\begin{array}{rl}& \mathbf{r}(\mathit{A})={\mathbf{r}}_a\\ & \mathbf{r}(\mathit{B})={\mathbf{r}}_b\end{array}$$

由于将子式 $|{\mathit{A}}_{\mathit{a}}|$ 和 $|{\mathit{B}}_{\mathit{b}}|$ 拿出来可以组成下面这个非零行列式：

$$\left|\begin{array}{cc}{\mathit{A}}_{\mathit{a}}& {\mathit{C}}_{\mathit{c}}\\ \mathit{C}& {\mathit{B}}_{\mathit{b}}\end{array}\right|=|{\mathit{A}}_{\mathit{a}}|\cdot |{\mathit{C}}_{\mathit{c}}|\ne 0$$

在上式中，${\mathit{C}}_{\mathit{c}}$ 是矩阵 $\mathit{C}$ 的一个子式。

且：

$$\mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}{\mathit{A}}_{\mathit{a}}& {\mathit{C}}_{\mathit{c}}\\ \mathit{C}& {\mathit{B}}_{\mathit{b}}\end{array}\right)={\mathbf{r}}_a+{\mathbf{r}}_b$$

根据“母式”的秩肯定不会比其中的“子式”的秩小的定理，我们可得如下结论：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{C}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)& ⩾{\mathbf{r}}_a+{\mathbf{r}}_b\\ \\ \mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{C}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)& ⩾\mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{B})\end{array}$$

对于公式二第 $(2)$ 组式子，我们可以先把分块矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{C}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)$ 看作是由矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{C}\end{array}\right)$ 和矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)$ 组成的，于是，根据前面的定理，可得：

$$\mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{C}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)⩽\mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{C}\end{array}\right)+\mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)$$

根据同样的定理，我们还有：

$$\begin{array}{rl}& \mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{C}\end{array}\right)⩽\mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{C})\\ \\ & \mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)⩽\mathbf{r}(\mathit{O})+\mathbf{r}(\mathit{B})\Rightarrow \\ & \mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)⩽\mathbf{r}(\mathit{B})\end{array}$$

于是下式得证：

$$\mathbf{r}\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{C}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)⩽\mathbf{r}(\mathit{A})+\mathbf{r}(\mathit{B})+\mathbf{r}(\mathit{C})$$

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